Question

如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=90，BD平分∠ABC，CE垂直BD的延长线于点E， 求证 BD=2CE

Answer 1

这个题目很好，也不很简单。很多人都容易想到用全等三角形来证明，我这里用四点共圆的性质来求证。解答如下 :显然ABCE四点共圆，且由于∠ABE=∠EBC,所以由相等的圆周角所对应的弦相等,于是AE=EC.再取BD的中点F,连接AF,则AF=(1/2)BD (因为直角三角形,斜边上的中线等于斜边的一半) ,所以最后问题转化为求证AF=AE ,由于∠AFE=2∠ABD=45°，而根据同弧AB所对的圆周角相等，于是∠ACB=∠AEB=45°。所以在△AFE中,∠AFE=∠AEF=45°,所以 AF=AE ，所以BD=2CE。

Answer 2

延长CE交BA延长线与G，因为BD平分∠ABC，CE垂直BD,所以三角形GBC为等腰三角形。CE=GE=1/2CG
过D点做BC的垂线交BC于F点，因∠A=90，则AD=DF（角平分线上D点到角的两边距离相等）
∠ABD=∠FBD，BD为共用边，
所以三角形ABD≌三角形FBD，AB=BF,又AB=AC，故，BF=AC
又因为∠ABD+∠ADB=∠ECD+∠EDC=90°，而∠ADB=∠EDC，所以∠ABD=∠ECD，
∠FBD=∠ECD，所以RT三角形BFD≌RT三角形CAG，BD=CG=2CE

Answer 3

AB=AC，∠A=90 =>∠B=45度=∠ACB
BD=AB/cos(45度/2)
CE=BC*sin(45度/2)=AB*sin(45度/2)/sin(45度)
BD/CE=sin(45度)/[cos(45度/2)*sin(45度/2)]=2

Answer 4

解：如图所示，延长BA，CE交于点F，
∵∠ABD+∠ADB=90°，∠CDE+∠ACF=90°，
∴∠ABD=∠ACF，又AB=AC．
∴Rt△ABD≌Rt△ACF．
∴BD=CF，
∵∠BDA是△BDC的外角，
∴∠BDA=∠ACB+∠DBC，即∠BDA=45°+∠DBC，
∴∠F=∠BDA=45°+∠DBC，
∵BD平分∠ABC，∴∠BCF=∠F，
即BC=BF，又BE⊥CF，
∴CF=2CE，即BD=2CE．
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