Question

F(X)=X^2-AX+1+A(A属于R) (I)若对任意的X>1,不等式F(X)>=0恒成立，求实数A的取值范围

(II)解关于X的不等式F(X)/X^2<(1+A)(1-1/X)+2/x^2

Answer 1

1) F(X)=X^2-AX+1+A≥0对任意X>1成立
则当△=A^2-4A-4≤0时，不等式对一切x∈R成立，此时解得2-2√2≤A≤2+2√2
当△=A^2-4A-4>0时，需使右交点x2≤1，此时解得A<2-2√2或A>2+2√2
解方程X^2-AX+1+A=0解为x1=[A-√(A^2-4A-4)]/2，x2=[A+√(A^2-4A-4)]/2
即x2=[A+√(A^2-4A-4)]/2≤1时，不等式成立，解得此不等式恒成立，∴A只需符合△>0即可
∴A的取值范围为R
2) F(X)/X^2<(1+A)(1-1/X)+2/x^2
=> F(X)=X^2-AX+1+A<(1+A)(X^2-X)+2=(1+A)X^2-(1+A)X+2
=> AX^2-X+1-A>0
A>0时，若△<0, 不等式恒成立；若△≥0，则X<X1或X>X2时不等式成立
解方程AX^2-X+1-A=0，得X1=[1-√(1-4A(1-A))]/2A，X2=[1-√(1+4A(1-A))]/2A
A=0时，不等式简化为X<1
A<0时，若△<0，不等式恒成立；若△≥0，则X1<X<X2时，不等式成立