Question

在平面直角坐标系中，已知点A（2,2）B(2,-3)，点P在y轴上且△APB为直角三角形，求点P的坐标

Answer 1

在平面直角坐标系内，已知点A（2，2），B（2，-3），点P在y轴上，△APB为直角三角形，则P点的坐标是（0，2），（0，-3），（0，1），（0，-2）．
考点：坐标与图形性质；勾股定理的逆定理；圆周角定理．
分析：若点P在y轴上，△APB为直角三角形，分两种情况：当以AB为直角边时和当以AB为底时讨论计算．
解答：解：（1）当以AB为直角边时，作AC⊥y轴于点C，BD⊥y轴于点D，
得C（0，2），D（0，-3）满足题意；
（2）以AB为底时，以AB为直径画圆，可与y轴交于点E，F两点，由直径对的圆周角是直角知，点E，F就是所求的点．
连接AE，BE，
由同角的余角相等得：∠CAE=∠ABE，
又∵∠ECA=∠BEA=90°，
∴△CAE∽△DEB，
∴CE：AE=AE：AB，即：AE2=CE•AB，
又在Rt△CEA中，有AE2=AC2+CE2，
∴AC2+CE2=CE•AB，
把AC=2，AB=5代入，
解得：CE=4或1，
即点E（0，1），点F（0，-2）．
故本题答案为：（0，2）（0，-3）（0，1）（0，-2）

Answer 2

设P为（0,a)
则AB(0,5),AP(2,2-a),BP(2,-3-a)
AB=25,AP=4+(2-a)ˇ2.BP=4+（a+3）ˇ2
当ABˇ2=APˇ2+BPˇ2时，a=-2或a=1
当APˇ2=ABˇ2+BPˇ2时，a=-3
当BPˇ2=ABˇ2+APˇ2时，a=2，所以P点坐标有（0，-3），（0，-2），（0，1），（0，2）4种可能