Question

D是等腰直角三角形ABC的直角边BC上的一点，AD的垂直平分线EF分别交AC、AD、AB交于E、O、F，BC=2

猜想：当CD=2(根号2-1）时，四边形ADEF是何种特殊的平行四边形？证明你的结论

Answer 1

延长DC,FE交于G点，
由勾股定理求得AD=2√[4-2(√2)],
所以：DO=√[4-2(√2)],
由三角形GOD和三角形ACD相似得求得：DG=2(√2)
所以：GC=2
所以：三角形GOD和三角形ACD相似得∠CGE=∠CAD，所以三角形GCE和三角形ACD全等。
所以：CD=CE
所以：DE平行AB，且DE=(√2)CD=4-2√2
所以：∠CDE=45°
而∠EDF=∠EAF=45°
所以：∠FDE=∠BCA=90°
所以：DF平行AC
所以：四边形AFDE是平行四边形
又由于AE=2-EC=2-2（√2-1）=4-2√2
所以：AE=DE
所以：四边形AFDE是棱形。
∴DC=2√2-2