Question

有加分！！急求！！求函数y=3√(x+1)+2√(2-x)的值域

求函数y=3√(x+1)+2√(2-x)的值域，谢谢！！

Answer 1

定义域为x+1≥0且2-x≥0，即-1≤x≤2
y=3√(x+1)+2√(2-x)≤√[(3^2+2^2)*(x+1+2-x)]=√39
当3√(2-x)=2√(x+1)时等号成立，y取得最大值
此时，解得x=14/13∈[-1,2], y的最小值为√39
y(-1)=2√3 y(2)=3√3
三者中，最大值为√39，最小值为2√3
∴函数y的值域为[2√3，√39]

追问

请问 y=3√(x+1)+2√(2-x)≤√[(3^2+2^2)*(x+1+2-x)]=√39 这一步是怎么得出来的，用的是什么公式啊？谢谢~

追答

柯西不等式
http://baike.baidu.com/view/7618.htm

Answer 2

设 s=√(x+1)>=0，t=√(2-x)>=0
则 y=3s+2t>=0，且 s^2+t^2=3
设s=√3*cosa，t=√3*sina（0<=a<=90度）
则 y=3√3cosa+2√3*sina
=√39*(3/√13*cosa+2/√13*sina)
=√39*sin(a+b)
其中 sinb=3/√13，cosb=2/√13，tanb=3/2(b为锐角)
所以，由 b<=a+b<=90度+b得 sin(90度+b)<=sin(a+b)<=1
即 2/√13<=sin(a+b)<=1
因此，2√3<=y<=√39

值域：[2√3，√39] (分别在x=-1和x=14/13取得)

Answer 3

首先求定义域，可知-1小于等于x小于等于2,
再用求导，知y一撇=3/2*1/√(x+1 +1/ √(2-x)，y一撇恒大于零，所以
该函数在定义域上单调递增，即其最小值为2√3，最大值为3√3