Question

已知函数f(x)满足f(loga x)=(a/a^2-1)(x-x^-1),其中a＞0，且a≠1

(1)对于函数f(x),当x属于(-1,1)时,f(1-m)+f(1-m^2)＜0，求m的集合
(2)x属于(负无穷,2)时,f(x)-4的值恒为负数，求a的取值范围

Answer 1

解：（1）令t=logax（t∈R），
则x=at， ．
∴ （x∈R）．
（2）∵ ，且x∈R，
∴f（x）为奇函数．
当a＞1时，指数函数y=ax是增函数， 是减函数，y=-a-x是增函数．
∴y=ax-a-x为增函数，
又因为 ，
∴ ，（x∈R）是增函数．
当0＜a＜1时，指数函数y=ax是减函数，
是增函数，y=-a-x是减函数．
∴u（x）=ax-a-x为减函数．
又因为 ，
∴ ，（x∈R）是增函数．
综上可知，在a＞1或0＜a＜1时，y=f（x），（x∈R）都是增函数．
（3）由（2）可知y=f（x），（x∈R）既是奇函数又是增函数．
∵f（1-m）+f（1-m2）＜0，
∴f（1-m）＜-f（1-m2），
又y=f（x），（x∈R）是奇函数，
∴f（1-m）＜f（m2-1），，
因为函数y=f（x）在（-1，1）上是增函数，
∴-1＜1-m＜m2-1＜1，
解之得： ．
(2)f(x)是R上的增函数,
则f(x)-4在R上也是增函数.
由x<2得f(x)<f(2)
要使f(x)-4在(-无穷,2)上恒负,
只需f(2)-4<0
--->[a/(a^2-1)][a-a^(-2)]-4=<0
--->2-根3=<a=<2+根3
即a取值范围为: [2-根3,2+根3]

追问

上面都是空着的，看不懂诶

追答

：（1）令t=logax（t∈R），
则x=at， f(x)=a/a^2-1(a^t-a^-t) ．
∴ f(x)=a/a^2-1(a^x-a^-x)，（x∈R）．
∵ f(-x)=a/a^2-1(a^-x-a^x)=- a/a^2-1(a^x-a^-x)=-f(x)，且x∈R，
∴f（x）为奇函数．
当a＞1时，指数函数y=ax是增函数，y=(1/a)^x=a^-x 是减函数，y=-a^-x是增函数．
∴y=a^x-a^-x为增函数，
又因为 a/a^2-1>0 ，
∴ f(x)=a/a^2-1(a^x-a^-x) ，（x∈R）是增函数．
当0＜a＜1时，指数函数y=a^x是减函数，
y=(1/a)^x=a^-x是增函数，y=-a-x是减函数．
∴u（x）=ax-a-x为减函数．
又因为 a/a^2-1 ，
∴ f(x)=a/a^2-1(a^x-a^-x)，（x∈R）是增函数．
综上可知，在a＞1或0＜a＜1时，y=f（x），（x∈R）都是增函数．
由（2）可知y=f（x），（x∈R）既是奇函数又是增函数．
∵f（1-m）+f（1-m2）＜0，
∴f（1-m）＜-f（1-m2），
又y=f（x），（x∈R）是奇函数，
∴f（1-m）＜f（m2-1），，
因为函数y=f（x）在（-1，1）上是增函数，
∴-1＜1-m<m^2-1＜1，
解之得： 1<m<根号2 ．

Answer 2

是不是草错题目了？