Question

【急】设f(x)=ax²+bx+c(a>b>c),f(1)=0,g(x)=ax+b

问(1)求证:函数y=f(x)与y=g(x)的图像有两个交点.
(2)设f(x)与g(x)的图像交点A、B在x轴上的射影为A₁、B₁，求｜A₁B₁｜的取值范围
需要详细解释，及详细答案

Answer 1

1。因为a>b>c a+b+c=0
所以a>0,c<0,ac<0 -ac>0.

联立方程组y=ax2+bx+c，y=-bx，化为一个方程ax2+2bx+c=0
判别式为4b^2-4ac=4（b^2-ac）>0,

得证

2。
设A，B两点的横坐标分别为x1,x2那么有|A1B1|=|x1-x2|，由韦达定理可以得到x1+x2=-2b/a,x1x2=c/a,所以有|x1-x2|^2=4(b^2-ac)/a^2=4[1+c/a+(c/a)^2]=4[(c/a)+1/2]^2+3>=3,所以有A1B1的长的取值范围是A1B1>=√3

追问

為什麼這裡的答案跟你的不同
http://zhidao.baidu.com/question/73142493.html?an=0&si=1

追答

f(1)=0,a+b+c=0,c=-(a+b)
f(x)=ax^2+bx-(a+b)
令f(x)=g(x),即ax^2+bx-(a+b)=ax+b
ax^2+(b-a)x-(a+2b)=0(*)
△=(b-a)^2+4a(a+2b)=5a^2+6ab+b^2=(a+b)(5a+b)
由a>b>c,a+b+c=0可知,a>0,c0,5a+b=4a+(a+b)>0
于是有△=(a+b)(5a+b)>0,方程f(x)=g(x)有两个不相等的实数根,
所以函数f(x)和g(x)图像有两个交点.

|A1B1|的取值范围就是方程(*)中|x1-x2|的范围.
|x1-x2|=(√△)/a=√[5+6(b/a)+(b/a)^2]
当a>b>0时,00>b>c时,由a=-b-c>-2b,-1/2<b/a<0
当b=0时,b/a=0
所以9/4<5+6(b/a)+(b/a)^2<12
3/2<|x1-x2|=√[5+6(b/a)+(b/a)^2]<2√3
|A1B1|的取值范围(3/2,2√3).

Answer 2

由f（1）=0知a+b+c=0
联立f（x）和g（x）得
ax2+（b-a）x+c-b=0
△=（b-a）2-4a（c-b）=b2+a2-4ab-4a（-a-2b）=（b+a）2+4a2>0
可知有两个交点

因为a+b+c=o，a>b>c,所以a>0,c<0.由维达定理知，x1*x2<0，
所以AB摄影间的距离=x1-x2的绝对值=根下（x1+x2）-4x1*x2，代入前式即得

Answer 3

(1)f(1)=0,得a=-b,
f(x)-g(x)=ax2+(b-a)x+(c-b)
令f(x)-g(x)=0

f(x)-g(x)=0有2个根
所以二者有两个交点

Answer 4

由题意，f(1)=a+b+c=0 令f(x)=g(x) 则ax^2+bx+c=ax+b
整理得ax^2+(b-a)x+(c-b)=0 △=(b-a)^2+4a(c-b)=(a+b)^2-4(ab+ac-bc)
又因为a+b+c=0，所以，原始可化为c^2-4[a(b+c)-bc].即△=c^2+4（a^2+bc)
因为a>b>c,所以a^2+bc恒大于0.（bc有可能为负数）即△恒大于0.所以有两个交点。

我们没学射影，所以第二问不会................