Question

两个不同的自然数的和是60，它们的最大公约数与最小公倍数的和也是60。问：这样的自然数共有多少组？

Answer 1

先来证明这两个自然数中的大的那一个必是小的那一个的倍数：

设这两个自然数的最大公约数为X，那么这两个自然数可以表示为mX、nX，其中m、n互质。则这两个自然数的最小公倍数是mnX。
根据条件会有以下两个等式：
mX+nX=60 即(m+n)X=60
X+mnX=60 即(1+mn)X=60
所以有：m+n=1+mn，即：(m-1)(n-1)=0
解得：m=1或n=1
意味着这两个自然数中小的那一个必是两者的最大公约数X，大的那一个是小的那一个的倍数。

两个自然数中，设小的那个数是X，大的那个是mX，m>1，那么：
(1+m)X=60
由于60有约数：60、30、20、15、12、10、6、5、4、3、2、1，共12个
而1+m>2，所以X<30
因此符合条件的自然数有10组，分别是：
X=20，mX=40
X=15，mX=45
X=12，mX=48
X=10，mX=50
X=6，mX=54
X=5，mX=55
X=4，mX=56
X=3，mX=57
X=2，mX=58
X=1，mX=59

Answer 2

最大公约数最多是较大的数的一半，最小公倍数至少等于较大的数，设较大的数为x
x/2+x≥60
x≥40
x=40 60-40=20 最大公约数20，最小公倍数40，和为60，满足题意。
同样满足的还有：
x=45 60-45=15
x=48 60-48=12
x=50 60-50=10
x=54 60-54=6
x=55 60-55=5
x=56 60-56=4
x=57 60-57=3
x=58 60-58=2
满足题意的自然数共有9组。

Answer 3

1和59 ；2和58 ；3和57 ；4和56 ；5和55 ；6和54 ；10和50 ；12和48 ；15和45 ；20和40 

共10组 

书上的解释：如图

Answer 4

最大公约数最多是较大的数的一半，最小公倍数至少等于较大的数，设较大的数为x
x/2+x≥60
x≥40
x=40 60-40=20 最大公约数20，最小公倍数40，和为60，满足题意。
同样满足的还有：
x=45 60-45=15
x=48 60-48=12
x=50 60-50=10
x=54 60-54=6
x=55 60-55=5
x=56 60-56=4
x=57 60-57=3
x=58 60-58=2
x=59 60-58=1
一共是10组，这是正确答案。

Answer 5

“yzwb我爱我家” 贴的书上的解法虽然是对的，但中间有两步是错的
“xdskyline” 直接复制粘贴
xuzhouliuying 与 drug2009 的解答都不完整

只有 tyrhhbd 的解答最完整，条理清晰