Question

已知函数f(x)=x^3-9x^2+24x,若对于任意的m∈[-26,6],都有f(x)>x^3-mx-11恒成立，求实数x的取值范围

Answer 1

方法：构造函数法
先代入得 x³－9x²＋24x＞x³-mx-11，整理得 9x²-mx-24x-11＜0 再整理得 -mx+9x²-24x-11＜0
则原题目变成了，对于任意的m∈[-26,6],-mx+9x²-24x-11＜0恒成立，求x的取值范围
设f(m)=-xm+9x²-24x-11，则这个是一个以m为自变量的一次函数，x为这条直线的斜率
① x=0时，f（m）=-11＜0恒成立，
② x＞0 ，f(m)=-xm+9x²-24x-11是一个减函数，只要最大值小于0即可，f(-26)＜0，得：
26x+9x²-24x-11＜0，解得﹣11/9＜x＜1， 所以 0＜x＜1
③ x＜0，f(m)=-xm+9x²-24x-11是一个增函数，只要最大值小于0即可，f(6)＜0，得：
-6x+9x²-24x-11＜0，解得 -1/3＜x＜11/3 ，所以 -1/3＜x＜0
综上所述 x的取值范围是 -1/3＜x＜1