Question

已知：如图，在矩形ABCD中，BE平分∠ABC,交AD于点E，EF⊥BC，垂足为F。求证：四边形ABFE是正方形

Answer 1

显而易见
矩形ABCD四个角都是直角，BE平分∠ABC，得到两个角都是45°
所以三角形ABE就是等腰直角三角形，所以AE=AB
然后EF⊥BC，ABFE四个角又都是直角，而且邻边相等
所以是正方形得证

Answer 2

先证三个角是直角得四边形为正方形,
再证两邻边相等,角ABE=角FBE=角AEB
可得AB=AE
即可知四边形为菱形,
综上可得为正方形

Answer 3

BE平分∠ABC,
∠ABE=∠FBE=90°/2=45°；
AD//BC,∠AEB=∠FBE=45°；[内错角]
∠AEB=∠ABE=45°;AB=AE
EF⊥BC,EF//AB,∠BEF=∠ABE=45°；[内错角]
∠AEF=∠AEB+∠BEF=90°;
∠FBE=∠BEF=45°;BF=EF;
AB²+AE²=BE²=BF²+EF²
2AB²=2BF²
AB=BF
AB=AE=BF=EF.
∠A=∠ABF=∠EFB=∠AEF=90°;
所以四边形ABFE是正方形.