Question

已知在半径为2的球面上有A、B、C、D四点，若AB=CD=2,则四面体ABCD的体积的最大值为

解析中有一点不清楚：
解析是这样的： 过CD作平面PCD，使AB⊥平面PCD,交AB与P,
设点P到CD的距离为h ,
则有 V=1/3×2×h×1/2×2,
当直径通过AB与CD的中点时,h最大为2√3 ,故 V最大4√3/3

为什么当直径通过AB与CD的中点时,h取最大？？？？
题目和解析都也没图..

Answer 1

用这个方法算吧
设AB的中点为P，CD的中点为Q，球心为O。
易知P，Q必在一个球心也为O但半径比球O小的球面上（即较小一点的同心球），设其半径为r。
设CD与平面ABQ所成的角为a，设PQ与AB所成角为b，则有

V_(ABCD)=(1/3)*S_(ABQ)*CD*sina

而显然有
S_(ABQ)=(1/2)*AB*PQ*sinb<=(1/2)*AB*PQ<=AB*2r/2=AB*r （当P、Q、O三点共线时同时取等）
以及
sina<=1 （当CD与平面ABQ垂直时取等）
于是就有
V_(ABCD)<=(1/3)*AB*r*CD （当AB垂直CD且P、Q、O三点共线时取等）

在本题中，AB=CD=2，易计算得r=sqrt(3)，于是只大值就是4sqrt(3)/3。

Answer 2

你先把分给我，我给你答案，爱信不信，不信拉倒!!!!