Question

已知函数f(x)=x^3+ax^2+3bx+c(b<0),且g(x)=f(x)-2是奇函数，若函数f(x)与x轴有三个交点，求b的取值范围

Answer 1

由 g(x)=f(x)-2是奇函数 得 f(x)=x^3+3bx+2
对f(x)求导 得f’(x)=3x^2+3b
f’(x)>0时，x∈﹙－∞，－√－b﹚∪﹙√－b，＋∞﹚
f’(x)＜0，X∈﹙－√－b，√－b﹚
要想 函数f(x)与x轴有三个交点，则 f(x)=0 在f(－√－b) 和f(√－b) 之间
即 f(√－b)＜0＜f(－√－b) [注：由单调性得f(√－b)＜f(－√－b) ]
将X=±√－b带入方程中分别算一下。最后求解，这里我就不帮你算了。主要是思路，其实图像关于f(√－b)、0和f(－√－b)之间的关系，反映的更鲜明些，只是不太好弄，见谅啊！
哦，还有，我刚刚说的f(x)=0是指X轴上f(x)=0。

Answer 2

g(x)=f(x)-2是奇函数，所以f（0）-2=0
所以c=2，∴a=0
∴f(x)=x^3+ax^2+3bx+c就变成了
f(x)=x^3+3bx+2
求导
f（x）'=3x^2+3b
∵若函数f(x)与x轴有三个交点
∴f(x)'=0有两个根
△>0
可是解出来b<0
O(∩_∩)O~哪位会解的指教一下呃，谢谢了！

追问

若函数f(x)与x轴有三个交点
∴f(x)'=0有两个根
为什么，

追答

增减增，或者 减增减，
数形结合的话，那个导数图像应该和X轴有两个交点

Answer 3

b<- ³√4