Question

已知定义在R上的单调函数y=f(x),当x<0时，f(x)>1，且对任意的实数x,y∈R，有f(x+y)=f(x)f(y) 求f(0)

已知定义在R上的单调函数y=f(x),当x<0时，f(x)>1，且对任意的实数x,y∈R，有f(x+y)=f(x)f(y)
（1） 求f(0);并写出适合条件的函数f(x)的一个解析式；

（2） 数列｛an｝满足a₁=f(0)且f（a(n+1)）=1/f(-2-an) （n∈N*）求通项公式an的表达式；

Answer 1

（1）楼上第一问的回答漏掉了题目条件，
已求出f(0)=1或0
若f(0)=0，令y=0，依条件有f(x)=f(x)f(0)=0，f(x)为常函数，与题目不符，所以，只有f(0)=1
又由当x<0时，f(x)>1且f(x)在R上为单调函数，故可知f(x)在R上为单调减函数。
（2）由f（a(n+1)）=1/f(-2-an)得
f（a(n+1)）f(-2-an)=f(a(n+1)-an-2)=1
由a1=f(0)=1
得f(a(n+1)-an-2)=f(0)
又因为f(x)是单调函数，就一定有
a(n+1)-an-2=0
故an是以1为首项，2为公差的等差数列
an=1+2(n-1)=2n-1

追问

f（a(n+1)）f(-2-an)=f(a(n+1)-an-2) 可以这样转换？？？

追答

且对任意的实数x,y∈R，有f(x+y)=f(x)f(y)
这是已知条件，可以逆过来用。忘记说明了，抱歉。

f（a(n+1)）f(-2-an)
=f(a(n+1)+（-an-2)）
=f(a(n+1)-an-2)

Answer 2

(1) 因为f(x+y)=f(x)f(y), 另x=y=0\
那么，f(0)=f(0)^2, 因此， f(0)=0 或1
满足条件的函数可以写一个就是 f(x)=1/e^x
(2) f(a_(n+1))*f(-2-a_n)=1 怎么递推呢？暂没有考虑好
不过 把那个f(x)=1/e^x代入的话很容易了，只不过不严密~~

追问

把那个f(x)=1/e^x代入 的式子也写写吧