Question

设定义在实数集R上的函数f(x)＝e^-x/a+a/e^-x.(1)f(x)可能是奇函数么？(2)若f(x)是偶函数，探究其单调性

Answer 1

f(x)=e^-x/a+a/e^-x=1+(ae^x)^2/ae^x
f(-x)=e^x/a+a/e^x=e^2x+a^2/ae^x
若f(x)能为奇函数，则f(x)=-f(-x)
即1+(ae^x)^2=-e^2x-a^2 ,易知此式不可能成立，所以不可能是奇函数

若是偶函数，则f（x）=f（-x）
1+(ae^x)^2=e^2x+a^2 易知a=±1
① 当a=1时，f(x)=e^x+e^-x, f'(x)=e^x-e^-x, 令f‘（x）=0，得x=0
所以当x∈（0，+∞）时，f'(x)＞0，f(x)单调递增；当x∈（-∞ ,0)时，f’(x)<0,f(x)单调递减

②当a=-1时，f（x）=-e^x-e^-x, f'(x)=e^-x-e^x, 令f‘(x)=0,得x=0
所以当 x∈（0，+∞）时，f'(x)<0，f(x)单调递减；当x∈（-∞ ,0)时，f’(x)>0,f(x)单调递增