Question

若定义在R上的函数f(x)满足:对任意a、b∈R,都有都有f(a+b)=f(a)+f(b)+1 (1)求f（0）的值

（2）令F（x)=f(x)+1,判断F（x)的奇偶性
（3）若x＞0，F（x)=f(x)+1为增函数，解不等式f(x)+f(x+5)＞--2

Answer 1

﹙1﹚令a=0,b=0得f﹙0＋0﹚=f﹙0﹚＋f﹙0﹚＋1 ∴f﹙0﹚＝－1
﹙2﹚令a＝x,b＝-x得f﹙x－x﹚＝f﹙x﹚＋f﹙－x﹚＋1＝－1
∴f﹙x﹚＋1＋f﹙－x﹚＋1＝0即F﹙X﹚＋F﹙－x﹚＝0
∴F﹙－x﹚＝－F﹙x﹚
∴F﹙x﹚是奇函数
﹙3﹚当x﹥0时，F﹙x﹚是增函数，又因为F﹙x﹚是定义在R上的奇函数
所以F﹙x﹚在R上都是增函数
不等式f﹙x﹚＋f﹙x＋5﹚＞－2可化为f﹙x﹚＋1＋f﹙x＋5﹚＋1＞0
即F﹙x﹚＋F﹙x＋5﹚＞0
∴F﹙x＋5﹚＞－F﹙x﹚
∴F﹙x＋5﹚＞F﹙－x﹚
∴x＋5＞－x
∴x＞－5／2

Answer 2

1.不妨设a=b=0 则有f(0)=2f（0）+1 所以f（0）=-1
2.知F(X)=f（a）+f（b） 设a=-b 则有 F(0)=f（a）+f（-a）=0 即f（a）=-f（-a） 定义域为R关于零点对称 则F（x）在定义域上为奇函数
3.已证f（0）=-1 则-2=2f（0） 有f（2x+5）+2>-2 所以f（2x+5）>4f（0），因为此函数还是在X>0的增函数 、三个式子
x>0
x+5>0
2x+5>0
算出来求交集 答案你自己算好了