Question

【考研】通项由递推公式给出的数列求极限

已知x0=0，x【n】=(1+2x【n-1】)/(1+x【n-1】)，求lim x【n】 (n→∞)
求高手！！！一定要给出详细的解题过程啊，谢谢啦！！！~

Answer 1

解：由通项公式和x[0]=0可得0< x[n] <2，而且
x[n+1]-x[n]=(1+2x[n])/(1+x[n]) - (1+2x[n-1])/(1+x[n-1])
=(x[n]-x[n-1])/((1+x[n])(1+x[n-1]))
因为x[1]=1 > 0 =x[0], 利用上式和数学归纳法可得x[n+1]>x[n]，所以{x[n]}为递增有界数列，由单调有界定理可得该数列极限存在。
对通项公式x[n]=(1+2x[n-1])/(1+x[n-1])的等号两边求极限，并记极限为x，可得x*x - x -1 =0，求解二次方程可得x=(1+√5)/2，便是数列的极限。(由极限的保号性可得x>=0，所以舍去二次方程的负根)

Answer 2

(√5+1)/2
好几种求法，一个是初等做法，将数列通项用不动点法求出，再算极限
一种方法就是解出两个不动点(√5+1)/2和(1-√5)/2
证明xn>=0恒成立
然后就猜想极限为(√5+1)/2，再证明

Answer 3

x(n)和x(n-1)的极限应该是一样的，所以你对这个式子直接求极限，记x(n)的极限值为a，然后相当于解一个一元二次方程得到a就可以了

Answer 4

x【n】=(1+2x【n-1】)/(1+x【n-1】)
x0=0
X[n]>0
(n→∞) X[n]-->X[n-1]
x【n】=(1+2x【n】)/(1+x【n】)
x[n]^2-x[n]-1=0
x[n]=1/2+√5/2
lim x【n】 (n→∞)1/2+√5/2

Answer 5

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