Question

概率 条件概率

对于一道概率题，P（A）也好，P（A|B）也好。他的样本空间是不是可以确定下来了？比如：
用一门大炮对某目标进行三次独立射击,  第一、二、三次的命中率分别为0.4、0.5、0.7, 若命中此目标一、二、三弹, 该目标被摧毁的概率分别为0.2、0.6和0.8,  试求此目标被摧毁的概率.
它的样本空间是什么？希望各位高手多指点！

Answer 1

设随机变量x(i)为第i次射击结果, i = 1,2,3。则：
x(i) =
1, 第i次射击击中；
0, 第i次射击没有击中

则样本点ω = (x(1), x(2), x(3)) 表示三次射击情况。
记
ω1=(0,0,0), ω2=(0,0,1), ω3=(0,1,0), ω4=(0,1,1),
ω5=(1,0,0), ω6=(1,0,1), ω7=(1,1,0), ω8=(1,1,1)
因此样本空间
Ω={ω1, ω2, ω3, ω4, ω5, ω6, ω7, ω8}

事件A0={命中0弹}={ω1}
事件A1={命中1弹}={ω2, ω3, ω5}
事件A2={命中2弹}={ω4, ω6, ω7}
事件A3={命中3弹}={ω8}

所以
P(A0) = P(ω1) = 0.6×0.5×0.3=0.09
P(A1) = P(ω2+ω3+ω5) = 0.6×0.5×0.7+0.6×0.5×0.3+0.4×0.5×0.3 = 0.36
P(A2) = P(ω2+ω3+ω5) = 0.6×0.5×0.7+0.4×0.5×0.7+0.4×0.5×0.3 = 0.41
P(A3) = P(ω8) = 0.4×0.5×0.7=0.14

事件B={目标被摧毁}
而由题目
P(B|A0) = 0
P(B|A1) = 0.2
P(B|A2) = 0.6
P(B|A3) = 0.8

所以
P(B) = P(A0)P(B|A0)+P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)+P(A3)P(B|A3)
= 0+0.36×0.2+0.41×0.6+0.14×0.8
= 0.072+0.246+0.112
= 0.43

Answer 2

样本空间是{目标被摧毁，目标没被摧毁}
但是对每一个事件，你需要进一步分析，比如目标被摧毁
有可能是第一次、第二次、第三次命中被摧毁