Question

这个数学题有哪位高手帮我证明一下？

已知a^4+b^4+c^4+d^4=4abcd,以a、b、c、d为边的四边形是菱形吗？试说明理由。

Answer 1

a^4+b^4+c^4+d^4=4abcd
==>a^4+b^4+c^4+d^4-4abcd=0
==>(a^4+b^4-2a^2b^2)+(c^4+d^4-2c^2d^2)+(-4abcd+2a^2b^2+2c^2d^2)=0
==>(a^2-b^2)^2+(c^2-d^2)^2+2(ab-cd)^2=0
∵a,b,c,d均为正数
∴只有a=b=c=d时等式成立，
所以；以a,b,c,d为边的四边形是菱形。

Answer 2

a^4+b^4+c^4+d^4-4abcd=0
a^4+b^4-2a^2b^2+c^4+d^4-2c^2d^2-4abcd+2a^2b^2+2c^2d^2=0
(a^2-b^2)^2+(c^2-d^2)^2+2(ab-cd)^2=0
则必有
a^2-b^2=0 ，
c^2-d^2=0 ，
ab-cd=0 ，
解得a=b=c=d，
∴以a、b、c、d为边的四边形是菱形。