Question

设f（x）在（-∞，+∞）内可导，对任意X1，X2，当X1>X2时，都有f（X1）>f（X2），则对任意的X，f′（X）>0

设f（x）在（-∞，+∞）内可导，对任意X1，X2，当X1>X2时，都有f（X1）>f（X2），则对任意的X，f′（X）>0。这个结论为什么是错误的？答案是举例y=x³。但是根据导数的定义，当X1→X2分子分母均大于0，f′（X）不就大于0吗？我不明白的就是为什么从最本质的定义式上得不出等于0。

Answer 1

解：虽然分子分母均大于0，但是(f(X1)-f(X2))/(X1-X2)的值在X1→X2时极限可能为0.此时f'(x)就等于0了。事实上对于一元函数若它可导则一定连续，则根据函数点连续的定义可知f(X)在X→X2时其极限值为f(X2),令X=X1,则当X1→X2时有f(X1)的极限值为f(X2),根据极限的运算(f(X1)-f(X2))/(X1-X2)的值在X1→X2时极限值为0，这样f'(X)就等于0了。对于f'(X)>0的情况很好理解，对于X1>X2时，都有f（X1）>f（X2），说明该函数严格单调递增，则必然满足f′（X）>0。