Question

已知函数f(x)是定义在区间(0,+∞)上的减函数,且满足f(xy)=f(x)+f(y),f（1/3）=1

(1)求f(1)
(2)若f(x)+f(2-x)<2,求x的取值范围

Answer 1

解：
(1)f(xy)=f(x)+f(y)令x=y=1，那么有f(1×1)=f(1)+f(1)，即f(1)=2f(1)，f(1)=0;
(2)首先考虑定义域有：x>0切2-x>0,即0<x<2
根据式子f(xy)=f(x)+f(y)，有f(x)+f(2-x)=f(x(2-x))=f(2x-x^2),而f(1/3)=1,所以不难得出f(1/3×1/3)=2f(1/3)=2×1=2，所以有f(x)+f(2-x)=f(x(2-x))=f(2x-x^2)<2=f(1/3×1/3),也即f(2x-x^2)<f(1/9),因为f(x)为单调递减函数，故其自变量的关系为2x-x^2>1/9,求得x的取值范围为1-2sqrt（2）/3<x<1+2sqrt（2）/3,综合定义域的考虑得到x的取值范围为1-2sqrt（2）/3<x<1+2sqrt（2）/3

Answer 2

1、 f(1)=f(1)+f(1)=2f(1) 故f(1)=0
2、 x>0 (1)
2-x>0===>x<2 (2)
f(1/3)=1
2f(1/3)=2=f(1/3)+f(1/3)=f(1/9)
f(x)+f(2-x)=f(2x-x^)
f(2x-x^)<f(1/9)
f(x)是定义在（0，+∞）上的减函数
2x-x^>1/9
9x^-18x+1<0

[3-2倍根号2]/3<x<[3+2倍根号2]/3 (3)
由（1）（2）（3）得：
[3-2倍根号2]/3<x<[3+2倍根号2]/3