Question

已知函数f（x）=a的x次方+x+1分之x-2（a＞1），求证；函数f（x）在（-1，+无穷大）上位增函数

Answer 1

f(X)=a^x+（x-2)/(x+1) (a>1)
=a^x+[（x+1)-3]/(x+1)
=a^x+1-3/(x+1)
任取x1、x2∈(-1,+∞)且x1<x2.则
f（x1）-f（x2）=a^x1-a^x2+1-3/(x1+1)-1+3/(x2+1)
=a^x1[1-a^(x2-x1)]+3(x1-x2)/(x2+1)(x1+1)
因为x2>x1，则x2-x1>0,所以a^(x2-x1)>1，又因为a^x1>0，所以a^x1[1-a^(x2-x1)]<0
因为x1、x2∈(-1,+∞)，所以3(x1-x2)/(x2+1)(x1+1)<0
所以f（x1）-f（x2）<0即f（x1）<f(x2)
所以函数f(x)在(-1,+∞)上为增函数.