Question

来个数学高手，有个平面几何难题

△ABC为锐角三角形，过A、B、C分别作此三角形外接圆三条直径AA",BB",CC" ，求证： S(ABC)=S(A"BC)+S(AB"C)+S(ABC") 我很长时间做不出来，大家想想，谢谢！

Answer 1

并不是很难啊，由于要抓紧时间，就不列出详细解法了。
整个图形是一个圆和它的内接6边形。作图准的话很容易发现它的三组对边都是平行的。证明方法是去证明圆心与一组对边构成的两个三角形全等。
然后就好办了，你就可以以三角形的一条边，比如AC，和六边形的一条边，对应的可以是AC“，为基准边，将六边形割补成一个平行四边形。就能证明六边形的面积是ABC的两倍。
我刚高考完，都不太会证明了，只能大概让你意会一下，见谅。
顺便说一句，在这上面问几何题确实不太好让人回答。

Answer 2

基本上就是一楼的思路
只是到最后一步，分平行四边形时不能参考圆心了，要自己做一个平行四边形，第一个做好了，后面两个一连线自然可以证是平行四边形，就是把六边形分成3个平行四边形

Answer 3

楼上的哥们 NB啊
佩服佩服

Answer 4

该题中,三直径之交点即为△ABC的外心,若就外心这一条件进行一些联想和变化,经探索可得一系列与面积有关的结果.我们归纳如下(证明略去).
定理:设P为△ABC平面内的点,AP,BP,CP所在直线分别交△ABC的外接圆于,那么
(1)若P为△ABC的外心,则对锐角三角形,有.①
对非锐角三角形(不妨设∠A≥90 ,下同),有.②
(2)若P为△ABC的垂心,则对锐角三角形,有①式成立,对非锐角三角形,有②式成立.
(3)若P为△ABC的重心,则有.③
当且仅当△ABC为正三角形的时等号成立.
(4)若P为△ABC的内心,则有③式成立,当且仅当△ABC为正三角形时等号成立.
据以上定理,可得以下若干推论:
推论1,已知⊙O的内接锐角三角形ABC,是⊙O的三角条直径,且BC=a,CA=b,AB=c,=,则有.若,则又可得
,它等于三角恒等tgA+tgB+tgC=tgAtgBtgC.
推论2,设△ABC的重心为G,AG,BG,CG的延长线分别交三边BC,CA,AB于D,E,F,交△ABC的外接圆于,则.(若将"重心"改为"内心",其他条件不变,可知该结论仍成立).

Answer 5

用正弦定理，根据A，A‘’，B，B‘’，C，C‘’六点共圆得：角CAB‘’=90度-角A，得B‘’C=2Rsin角CAB‘’，B‘’A类推，角B‘’=180度-角B，得AC；得S(AB"C)=0.5*（2RcosA）*（2RcosC）*sinB，R是外接圆半径；其余三角形面积类推，其中 S(ABC）=0.5*(2RsinA）*（2RsinB）*sinC，然后算出S(A"BC)+S(AB"C)+S(ABC") =2R*R*sinAsinBsinc，就可证明