已知f(x)=x+a/x^2+bx+1是奇函数 (1)求a,b的值 (2)求f(x)的单调区间,并证明

紫罗兰爱橄榄树
2011-07-29 · TA获得超过9103个赞
知道小有建树答主
回答量:576
采纳率:0%
帮助的人:1326万
展开全部
储备知识:
1)奇函数:
设函数y=f(x)的定义域为D,D为关于原点对称的数集,如果对D内的任意一个x,都有x∈D,且f(-x)=-f(x),则这个函数叫做奇函数

2)导数:
一般地,假设一元函数 y=f(x )在 x0点的附近(x0-a ,x0 +a)内有定义;
当自变量的增量Δx=x-x0,Δx→0时函数增量Δy=f(x)- f(x0)与自变量增量之比的极限存在且有限,就说函数f在x0点可导,称之为f在x0点的(或变化率).

若函数f在区间I 的每一点都可导,便得到一个以I为定义域的新函数,记作 f(x)' 或y',称之为f的导函数,简称为导数。
函数y=f(x)在x0点的导数f'(x0)的几何意义:表示函数曲线在P0[x0,f(x0)] 点的切线斜率(导数的几何意义是该函数曲线在这一点上的切线斜率)。
一般地,我们得出用函数的导数来判断函数的增减性(单调性)的法则:设y=f(x )在(a,b)内可导。如果在(a,b)内,f'(x)>0,则f(x)在这个区间是单调增加的(该点切线斜率增大,函数曲线变得“陡峭”,呈上升状)。如果在(a,b)内,f'(x)<0,则f(x)在这个区间是单调减小的。

求导数的基本公式为:y’=f’(x)=lim(△x→0) [f(x+△x)-f(x)]/△x
比如,f(x)=x/(x²+1)的导数为
f’(x)=[f(x+a)—f(x)]/a 【此处a就是△x】
=【(x+a)/[(x+a)²+1]-x/(x²+1)】/a
则[f(x+a)—f(x)]
=【(x+a)(x²+1)-x[(x+a)²+1]】 /(x²+1)[(x+a)²+1]
=【-ax²-a²x+a】/【(x²+1)[(x+a)²+1]】
所以[f(x+a)—f(x)]/a
=(-x²-ax+1)/ 【(x²+1)[(x+a)²+1]】
所以当a→0时
f’(x)=(1-x²)/(x²+1)²

那么很显然当f’(x)≤0时,即x取值范围(-∞,-1]∪[1,+∞), f(x)=x/(x²+1)为减函数
当f’(x)>0时,即x取值范围(-1,1), f(x)=x/(x²+1)为增函数

回到你的题目,
解:
1)因为f(x)=(x+a)/(x²+bx+1)是奇函数
所以在其定义域内取k,则必有
f(k)=-f(-k)
(k+a)/(k²+kb+1)=-(-k+a)/(k²-kb+1)
-(k+a)(k²-kb+1)=(-k+a)(k²+kb+1)
-k³+bk²-k-ak²+abk-a=-k³+ak²-k-bk²+abk+a
(a-b)k²+a=0
由于k可任意取值,所以要使等式恒成立
必须a-b=0,且a=0,即a=b=0
所以f(x)=x)/(x²+1)
经检验,函数定义域为R也关于原点对称。

2)由上面导数的知识可知,
在区间(-∞,-1]∪[1,+∞)f(x)=x/(x²+1)为减函数
在区间(-1,1), f(x)=x/(x²+1)为增函数

设x1,x2是区间(-∞,-1]∪[1,+∞)的两个实数,且x2>x1
则f (x2)-f(x1)
=[x2/(x2²+1)]-[x1/(x1²+1)]
=【x2(x1²+1)-x1(x2²+1)】/(x1²+1)(x2²+1)
=【x1x2(x1-x2)-(x1-x2)】/(x1²+1)(x2²+1)
=(x1x2-1)(x1-x2)/ (x1²+1)(x2²+1)
因为x2>x1,x1、x2x1,x2是区间(-∞,-1]∪[1,+∞)的两个实数
所以x1x2-1>0,x1-x2<0,x1²+1>0,x2²+1>0
所以f (x2)-f(x1)<0
即f(x2)<f(x1)
所以函数f(x)=x/(x²+1)在区间(-∞,-1]∪[1,+∞)上是减函数

同理,可证出当x1,x2是区间(-1,1)的两个实数,且x2>x1时
f (x2)-f(x1)= (x1x2-1)(x1-x2)/ (x1²+1)(x2²+1)>0
即f(x2)>f(x1)
所以函数f(x)=x/(x²+1)在区间(-1,1)上是增函数

【当然,我们也可以算出f(x)=x/(x²+1)的值域
设g(x)=1/f(x)=x+(1/x),为对勾函数,值域就是(﹣∞,-2)∪(2,﹢∞)
所以f(x)值域(-1/2,1/2)】

【希望对你有帮助】
推荐律师服务: 若未解决您的问题,请您详细描述您的问题,通过百度律临进行免费专业咨询

为你推荐:

下载百度知道APP,抢鲜体验
使用百度知道APP,立即抢鲜体验。你的手机镜头里或许有别人想知道的答案。
扫描二维码下载
×

类别

我们会通过消息、邮箱等方式尽快将举报结果通知您。

说明

0/200

提交
取消

辅 助

模 式