Question

线性代数中矩阵的行秩和列秩对于线性方程组的具体意义是什么？

例如一个4*3的矩阵，若秩为2,从行秩的角度可以知道此方程组中有两个方程是无效的；那么，从列秩的角度是不是只能知道其中的2个主元（主列）和1个自由元（自由列）？是否可以认为其中的一个未知数是无效的，可以由其它两个未知数来表示？

Answer 1

从行秩的角度看, 你说的对

从列的角度看, A = (a1,a2,a3)
则方程组 AX=0 的向量形式为 x1a1+x2a2+x3a3 = 0
r(A) =2 时有 a1,a2,a3 线性相关 且 其极大无关组有2个向量
那么另一个向量可由极大无关组唯一表示
比如 a3 = k1a1+k2a2
所以 (k1,k2,1) 就是AX=0 的基础解系
所以 (ck1,ck2, c) , c 为任意常数, 是AX=0 的通解.
从这个角度看, x3 就是一个自由未知量, 它是不受约束的. 它任取一个值 c, 就唯一确定一个解.
但不能说它是"无效"的 ^_^.

自己的看法, 分享而已.

Answer 2

你怎么总喜欢用“无效”这个词？这里没有什么“无效”的问题。从行秩角度讲，说明任意一个方程可以由其中2个线性组合而成，从列秩讲，你的理解也大致对，只是“无效”这个词不是很合理