Question

极限计算

计算 n→∞ (n+1)/(n+2)的极限
1. 把n用∞代入入 则式子为(∞+1)/(∞+2),那么结果为∞/∞，因为∞的倒数是无穷小，则结果为0
2. 分子分母同时除n 则式子变为(1+ 1/n) / (1+2/n) ,此时代入∞，则 1/∞和 2/∞的结果都为0，因此原式化为 (1+0)/(1+0) 则结果为1.

问：第一种思路为何不对。答案结果为1，第二种思路对吗，帮我分析一下。谢谢

Answer 1

第二种思路是对的。第一种思路的错误原因是：∞/∞是一个“不定型”。如：本题中的极限等于1；若改为 n→∞ (2n+1)/(n+2)则其极限就等于2；（一般规律：若分子、分母的最高次项的指数相等，则当 n→+∞ 时，其极限等于分子、分母最高次项系数的比）；若改为： n→∞ (n^2+1)/(n+2)则其极限不存在；若改为： n→∞ (n+1)/(n^2+2)则其极限为0。

Answer 2

当 n→∞ 时，分子和分母都为无穷大，都不存在极限，所以不能直接利用商的极限法则而直接代进去。应该是把这个式子化成无穷小的形式，就是第二种思路，正确的。
也可化作：(n+2-1)/(n+2)=1-1/(n+2)，此时1/(n+2)为无穷小，就可计算了

Answer 3

第二种对，因为无穷分之无穷不等于0

Answer 4

向这种是不能直接代入的，涉及到极限存在法则!因为无穷分之无穷是没有极限的，

Answer 5