Question

高数课本说∫上（π）下（ -π） cos（kx）cos（nx）dx=0 怎么算出来的？

Answer 1

不是算出来的，而是因为cos（kx）cos（nx）是周期函数，周期函数在一个完整周期内积分后为0。明显2π，必然是cos（kx）和cos（nx）的周期，所以2π是cos（kx）cos（nx）的周期。 至于周期函数在一个完整周期内积分后为0，你结合积分定义和画图就会明白

追问

你好 课本上有这个定理吗？

追答

呵呵，忘了另一个条件了，就是图像经过平移能够成为奇函数。
话说当k=n=1时，∫上（π）下（ -π） cos（kx）cos（nx）dx=∫上（π）下（ -π） cos2（x）dx，是不可能为0的，你看下条件还有吗？
如果当k！=n时，cos（kx）cos（nx）是可以积化和差的（三角函数的转换），加法的积分就易做了。

Answer 2

利用配导数乘法组
cos(kx)cos(nx)=cos(kx)cos(nx)-[sin(kx)/k][nsin(nx)]+[sin(kx)/k][nsin(nx)] 加减同一项

={cos(kx)cos(nx)-[sin(kx)/k][nsin(nx)]}+[sin(kx)/k][nsin(nx)]-[cos(kx)/k²][n²sin(nx)]+[cos(kx)/k²][n²sin(nx)] 再加减同一项

然后求积分
∫(-π~π){cos(kx)cos(nx)-[sin(kx)/k][nsin(nx)]}+{[sin(kx)/k][nsin(nx)]-[cos(kx)/k²][n²cos(nx)]}+[cos(kx)/k²][n²cos(nx)]
=(-π~π)[{-(sin(kx)/k) * cosnx}+{-(cos(kx)/k² )* nsin(nx)}](-π~π)+ (n²/k²)∫(-π~π)cos(kx)cos(nx) dx
所以

∫(-π~π)cos(kx)cos(nx) dx={-(sin(kx)/k) * cosnx}+{-(cos(kx)/k² )* nsin(nx)}](-π~π) + (n²/k²)∫(-π~π)cos(kx)cos(nx) dx

∫(-π~π)cos(kx)cos(nx) dx=[1-(n²/k²)]{-(sin(kx)/k) * cosnx}+{-(cos(kx)/k² )* nsin(nx)} ](-π~π)

然后算出得0

lz你学到什么地方了我不知道，但是我就是给你个可以算任何定义域这个积分的方法
这道题的话看一眼就知道是区间内有一个峰两头两个半谷，就用不到高数了了

Answer 3

只有当k,n都是自然数并且k≠n的时候才成立，这个是三角函数系的正交性。
在高数下册傅里叶级数那一章有介绍，并且证明了楼主给出的式子

追问

我就是看书上的证明，省了些步骤 看不懂

追答

drug2009 给出的证明是合理的

Answer 4

∫cos(kx)(cos(nx)dx
=∫[cos(kx+nx)+cos(kx-nx) ]/2dx
∫[-π,π]cos(kx)cos(nx)dx
=(1/2)∫[-π,π] cos(kx+nx)dx +(1/2)∫[-π,π]cos(kx-nx)dx
k≠n时
=(1/(k+n))sin(k+n)π+(1/(k-n))sin(k-n)π
k,n都是整数时, sin(k+n)π=sin(k-n)π=0
k=n时
∫(cosnx)^2dx=∫(1+cos2x)dx/2=x/2+sin2x/4
∫[-π,π](cosnx)^2dx=π

Answer 5

可以用积化和差啊··~~~