Question

已知函数f(x)=x3+bx2+cx+2在X=1处取得极值-1。求b,c的值。若关于X的方程f（x)+t=0在区间[-1，1]上有实根。

求t的取值范围。

Answer 1

已知函数f(x)=x3+bx2+cx+2在X=1处取得极值-1。
得f'(x)=3x²+2bx+c在x=1是为0
3+2b+c=0
1+b+c+2=-1
得
b=1 c=-5
f（x）=x3+x2-5x+2
f（x）+t=0
x三次方+x²-5x+2+t=0【-1,1】上有实根
满足f（-1）与f（1）异号即可
f（-1）f（1）＜0
（7+t）（t-1）＜0
-7<t<1

Answer 2

f(x)的导数为3x^2+2bx+c,当x=1带入的导数为0,即3+2b+c=0；再有此时极值为-1，即1+b+c+2=-1；连列两个式子。可以借出b，c的值为b=1,c=-5。
f(x)+t=0有实根，可令F（x）=x^3+bx^2+cx+t+2，题目即为求F（x）在【-1,1】上有解。首先可以知道此为三次函数，图像单调递增，故只要F(-1)乘F（1）<=0即可，所以(t+7)*(t-1)<=0,所以最后t的范围为[-7,1]。。。可能有计算错误，不过方法应该没错吧！你还是自己算下吧

Answer 3

fx的导数为2x²＋2bx＋c当x=1时解的2＋2b＋c=0,1＋b＋c＋2=-1解得b,c第二问用Δ解