Question

奥数七年级

试求x^128+x^110-x^32+x^8+x^2-x被x-1除所得的余式

主要是多项式的除法不会 请给仔细过程 谢谢

Answer 1

将x=1代入x^128+x^110-x^32+x^8+x^2-x得到2
因此x-1将整除x^128+x^110-x^32+x^8+x^2-x-2
故x^128+x^110-x^32+x^8+x^2-x被x-1除等价于x^128+x^110-x^32+x^8+x^2-x-2+2被x-1除，其中x^128+x^110-x^32+x^8+x^2-x-2可被x-1整除，因此余式就为2

Answer 2

原式=(x^128+x^110)-(x^32-x^8)+(x^2-x)
=x^110(x^18-1)-x^8(x^24-1)+x(x-1)
=x^110(x^9-1)(x^9+1)-x^8(x^12-1)(x^12+1)+x(x-1)
=x^110(x^3-1)(x^3+1)(x^9+1)-x^8(x^6-1)(x^6+1)(x^12+1)+x(x-1)
=x^110(x-1)(x^2+x+1)(x^3+1)(x^9+1)-x^8(x^3-1)(x^3+1)(x^6+1)(x^12+1)+x(x-1)
=x^110(x-1)(x^2+x+1)(x^3+1)(x^9+1)-x^8(x-1)(x²+x+1)(x^3+1)(x^6+1)(x^12+1)+x(x-1)
所以能被（x-1)整除

追问

这个题目问的是余式 可是里面没有出现除法 是您看错题了吗 还是我的理解问题

追答

(x^128+x^110-x^32+x^8+x^2-x)÷（x-1）
=[(x^128+x^110)-(x^32-x^8)+(x^2-x)]÷（x-1）
=[x^110(x^18-1)-x^8(x^24-1)+x(x-1)]÷（x-1）
=[x^110(x^9-1)(x^9+1)-x^8(x^12-1)(x^12+1)+x(x-1)]÷（x-1）
=[x^110(x^3-1)(x^3+1)(x^9+1)-x^8(x^6-1)(x^6+1)(x^12+1)+x(x-1)÷（x-1）
=[x^110(x-1)(x^2+x+1)(x^3+1)(x^9+1)-x^8(x^3-1)(x^3+1)(x^6+1)(x^12+1)+x(x-1)]÷（x-1）
=[x^110(x-1)(x^2+x+1)(x^3+1)(x^9+1)-x^8(x-1)(x²+x+1)(x^3+1)(x^6+1)(x^12+1)+x(x-1)] ÷（x-1）
=x^110(x^2+x+1)(x^3+1)(x^9+1)-x^8(x²+x+1)(x^3+1)(x^6+1)(x^12+1)+x

这样写明白了吗