Question

函数的奇偶性和周期性问题、 求解答

已知函数f(x+1)为奇函数,函数f(x-1)为偶函数,且当x属于[-1,1]，f（x）=x^2-1，则关于x的方程f（x）=1/2在[2002,2010]上的所有根之和为？ 恩，已经知道了f（x）的图像关于（1，0）中心对称，关于x=-1对称，周期为8 接下去就有问题了

Answer 1

20

因为f（x）是周期为8

2002/8余2

即求[2,10]上的根之和

设根依次为x1,x2,x3,x4

x1与x3关于3对称  ，x2与x4关于7对称

x1+x2+x3+x4=2×3+2×7=20

追问

谢谢你啊~懂了 不过老师讲的时候答案是8020
老师的解是[2,10]根的和是20，[2002,2010]的根的和是8020 》。《

Answer 2

f(x+1)为奇函数 ==> f(-x+1)=-f(x+1) ==> f(x)=-f(-x+2)
==> 当x属于[1,3]，f(x)=(-x+2)^2 -1

f(x-1)为偶函数 ==> f(-x-1)=f(x-1) ==> f(x)=f(-x-2)
==> 当x属于[-3,-1]，f(x)=(-x-2)^2 -1

==> 当x属于[-2,2]，f(x)=1/2 的所有根为 2-(3/2)^(1/2)
(解方程(-x-2)^2-1=1/2, x^2-1=1/2, (-x+2)^2-1=1/2, )
==> 当x属于[-2,2]，方程f（x）= -1/2 的所有根为 -2+(1/2)^(1/2), -2-(1/2)^(1/2), (1/2)^(1/2),
-(1/2)^(1/2), 2+(1/2)^(1/2), 2-(1/2)^(1/2)

==> f(x) = f(-x-2) = -f(x+4) = f(x+8)

f(x)=-f(x+4) ==>
当x属于[-6,-2]，f(x)=1/2 <==> 当x属于[-6,2]，f(x+4)=-1/2 <==> 当x属于[-2,2]，f(x)=-1/2

f(x) = f(x+8) ==> f(x) - 1/2 周期为8
==> 方程f(x=1/2在[2002,2010]上的所有根之和 = 方程f(x)=1/2在[-6,2]上的所有根之和
= 2-(3/2)^(1/2)