Question

如图，PA⊥平面ABC，AE⊥PB，AB⊥BC，AF⊥PC,PA=AB=BC=2

（1）求证：平面AEF⊥平面PBC；
（2）求二面角P—BC—A的大小；
（3）求三棱锥P—AEF的体积.

Answer 1

（1）求证：平面AEF⊥平面PBC；
证明：BC⊥AB，BC⊥PA，AB、PA相交
得BC⊥面PAB，
又AE在面PAB内
得BC⊥AE,AE⊥BC
又AE⊥PB，PB与BC相交
所以AE⊥面PBC
又AE在面AEF中
所以平面AEF⊥平面PBC；

（2）求二面角P—BC—A的大小；
解：P在面ABC中的射影为A
S⊿PBC=√2
S⊿ABC=2
所以cos<P—BC—A>=S⊿ABC/S⊿PBC=√2/2
二面角P—BC—A的大小为45度

（3）求三棱锥P—AEF的体积.
由（1）得AE⊥EF
PE为三棱锥P—AEF的高
EF=1
AE=√2
PE=√2
所以三棱锥P—AEF的体积.=1/3*1/2*√2*√2=1/3