已知函数f（x）=a的x次方+1分之a的x次方-1（a＞1）
1.判断函数f（x）的奇偶性2.求f（x）的值域3.证明f（x）在（-无限大，+无限大）上的增函数...
1.判断函数f（x）的奇偶性
2.求f（x）的值域
3.证明f（x）在（-无限大，+无限大）上的增函数 展开
2.求f（x）的值域
3.证明f（x）在（-无限大，+无限大）上的增函数 展开
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解：（1）
f(-x)=[a^(-x)-1]/[a^(-x)-1]
=(1-a^x)/(a^x+1) 通分得到
=-f(x)
所以，f(x)是奇函数
（2）f(x)=(a^x-1)/(a^x+1)=1-1/(a^x+1)
因为 a>1,
所以 a^x>1
所以 a^x+1>2
所以 0<1/(a^x+1)<1/2
所以 f(x)=1-1/(a^x+1)>1-1/2=1/2
所以 f(x)∈(1/2,+∝)
(3)设x1>x2，x1、x2∈R
因为 a>1
所以 a^x1>a^x2>0
所以f(x1)-f(x2)=(a^x1-1)/(a^x2+1)-(a^x2-1)/(a^x2+1)
=2(a^x1-a^2)/[(a^x1+1)(a^x2+1)] 上式通分化简可得
>0
即f(x1)>(x2)
所以，函数f(x)在(-∝,+∝)上是增函数
f(-x)=[a^(-x)-1]/[a^(-x)-1]
=(1-a^x)/(a^x+1) 通分得到
=-f(x)
所以，f(x)是奇函数
（2）f(x)=(a^x-1)/(a^x+1)=1-1/(a^x+1)
因为 a>1,
所以 a^x>1
所以 a^x+1>2
所以 0<1/(a^x+1)<1/2
所以 f(x)=1-1/(a^x+1)>1-1/2=1/2
所以 f(x)∈(1/2,+∝)
(3)设x1>x2，x1、x2∈R
因为 a>1
所以 a^x1>a^x2>0
所以f(x1)-f(x2)=(a^x1-1)/(a^x2+1)-(a^x2-1)/(a^x2+1)
=2(a^x1-a^2)/[(a^x1+1)(a^x2+1)] 上式通分化简可得
>0
即f(x1)>(x2)
所以，函数f(x)在(-∝,+∝)上是增函数
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TableDI
2024-07-18 广告
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