Question

已知空间四边形ABCD，E.H分别是AB,AD的中点，F.G分别是边BC,DC的三等分点，求证：

（1）对角线AC,BD是异面直线（2)直线EF和HG必交于一点，且交点在AC上
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Answer 1

证明：（1）假设对角线AC、BD在同一平面α内，
则A、B、C、D都在平面α内，这与ABCD是空间四边形矛盾，
∴AC、BD是异面直线．

（2）∵E、H分别是AB、AD的中点，∴EH BD．
又F、G分别是BC、DC的三等分点，
∴FG BD．∴EH∥FG，且EH＜FG．
∴FE与GH相交．
设交点为O，又O在GH上，GH在平面ADC内，∴O在平面ADC内．
同理，O在平面ABC内．
从而O在平面ADC与平面ABC的交线AC上．

Answer 2

证明：（1）假设对角线AC、BD在同一平面α内，
则A、B、C、D都在平面α内，这与ABCD是空间四边形矛盾，
∴AC、BD是异面直线．

Answer 3

假设对角线AC、BD在同一平面α内，
则A、B、C、D都在平面α内，这与ABCD是空间四边形矛盾，
∴AC、BD是异面直线．