Question

求1^n+2^n+3^n+4^n+...+k^n=? 谢谢各位支持

Answer 1

让我来给你推荐一些相关的公式吧：
(1+2+3+...+k) 公式：(n^2+n)/2
(1^2+2^2+3^2+...+k^2) 公式：(2n^3+3n^2+n)/6
(1^3+2^3+3^3+...+k^3) 公式：(n^4+2n^3+n^2)/4
(1^4+2^4+3^4+...+k^4) 公式：(6n^5+15n^4+10n^3-n)/30
(1^5+2^5+3^5+...+k^5) 公式：(2n^6+6n^5+5n^4-n^2)/12
(1^6+2^6+3^6+...+k^6) 公式：(6n^7+21n^6+21n^5-7n^3+n)/42
(1^7+2^7+3^7+...+k^7) 公式：(3n^8+12n^7+14n^6-7n^4+2n^2)/24
(1^8+2^8+3^8+...+k^8) 公式：(10^9+45n^8+60n^7-42n^5+20n^3-3n)/90
(1^9+2^9+3^9+...+k^9) 公式：(2n^10+10n^9+15n^8-14n^6+10n^4-3n^2)/20
(1^10+2^10+3^10+...+k^10) 公式：(6n^11+33n^10+55n^9-66n^7+66n^5-33n^3+5n)/66
(1^11+2^11+3^11+...+k^11) 公式：(2n^12+12n^11+22n^10-33n^8+44n^6-33n^4+10n^2)/24
由于我个人能力有限，所以我只能先推荐到这儿了

Answer 2

这个前n项和公式是一个非常特别的
公式为
1^k+2^k+...+n^k=((n+1+p)^(k+1)-p^(k+1))/(k+1)
我们先要求一个数字p,p满足以下规则
(1+p)^(k+1)-p^(k+1)=0这个里面首先要展开,展开后对于p,p^2 ,p^3等,我们要当成一个整体对待,比如
k=1的时候
(1+p)^2-p^2=0
1+2p=0 p=-1/2
k=2的时候
(1+p)^3-p^3=0
1+3p+3p^2=0
其中p=-1/2,代入
p^2=1/6
也就是说,p p^2 p^3这些数字之间相对独立
我们来看看k=1的时候我们计算的通项
1+2+..+n=((n+1+p)^2-p^2)/2=((n+1)^2+2(n+1)p)/2
p=-1/2代入
=((n+1)^2-(n+1))/2=n(n+1)/2

我们来看k=2的时候
p=-1/2 p^2=1/6前面已经计算了,不再重复
1^2+2^2+....+n^2=((n+1+p)^3-n^3)/3
=((n+1)^3+3(n+1)^2*p+3(n+1)p^2)3
代入p,p^2
=((n+1)^3-3(n+1)^2/2+3*(n+1)/6)/3
=(n+1)((2(n+1)^2-3(n+1)+1)/6
=(n+1)((2n^2+4n+2-3n-3+1)/6
=(n+1)(2n^2+n)/6=n(n+1)(2n+1)/6

Answer 3