Question

设双曲线方程为X^2/A^2

设双曲线方程为X^2/A^2-Y^2/B^2=1,左焦点为F，右准线与他的两条渐进性分别较于PQ两点，且△PQF为等边△，（1）求双曲线的渐近线方程（2）若直线Y=X+b与双曲线交于AB的长为根号30，求双曲线的方程

Answer 1

(1).渐进线是y=±b/a*x  

右准线x=a²/c；

交点就是P(a²/c,ab/c)   Q(a²/c,-ab/c)

右焦点F(c,0)

构成等边三角形就是PF和x轴成30度

所以c-a²/c=√3ab/c

可以化成b=√3a  b/a=√3

于是渐进线就是y=±√3x；

(2).双曲线方程设为

X²/a²-Y²/3a²=1；

直线即Y=X+b

带入方程得到

X²/a²-(X+b)²/3a²=1

2X²-2bX-b²-3a²=0

X1+X2=b=√3a；

x1x2=(-b²-3a²)/2=-3a²

由于AB=√2*|x1-x2|=√30

于是(x1-x2)²=(X1+X2)²-4X1X2=3a²+12a²=15

a=1  b=√3

双曲线方程为x²-y²/3=1；