Question

.已知抛物线y^2=2PX(P＞0).直线的斜率为-1，且过抛物线的焦点F，交抛物线于A,B两点，线段AB的长为3，

求抛物线方程。 (高中数学）
答案直线方程为y=-x+p/2
代入抛物线方程得(-x+p/2)^2=2px
4x^2-12px+p^2=0
|x1-x2|=3/√2
(x1-x2)^2=9/2
(x1+x2)^2-4x1x2=9/2
用韦达定理可得8p^2=9/2
p=3/4（负值舍去）
所以抛物线方程为y^2=3x/2。
可是我到这里就看不懂了
|x1-x2|=3/√2
(x1-x2)^2=9/2
(x1+x2)^2-4x1x2=9/2
用韦达定理可得8p^2=9/2
p=3/4（负值舍去）
所以抛物线方程为y^2=3x/2
求详细步骤

Answer 1

已知抛物线y^2=2PX(P＞0).直线的斜率为-1，且过抛物线的焦点F，交抛物线于A,B两点，线段AB的长为3，求抛物线方程。 (高中数学）

解析：∵抛物线y^2=2PX(P＞0).直线的斜率为-1，且过抛物线的焦点F
设直线方程为y=-x+p/2
代入抛物线方程得(-x+p/2)^2=2px
4x^2-12px+p^2=0
由韦达定理可得：
X1+x2=-b/a=3p，x1x2=c/a=p^2/4，|x1-x2|=√(b^2-4ac)/a=2√2p
Y1=-x1+p/2, y2=-x2+p/2==>y1-y2=x2-x1==>|y1-y2|=|x1-x2|
∵AB=3,p>0
∴|x1-x2|^2+|y1-y2|^2=2|x1-x2|^2=AB^2=9
16p^2=9==>p=3/4
∴抛物线方程为y^2=3x/2。

此题可以用不同方法解之

Answer 2

因为线段AB长为3，而直线的斜率为-1，所以线段AB在x轴上的投影为3/√2
也就是|x1-x2|=3/√2
这里x1和x2为方程4x^2-12px+p^2=0的两个根，也就是直线与抛物线交点的横坐标
这里投影的时候出现的是45°角的直角三角形，所以斜边与直角边之比为√2:1，知道了斜边为3，直角边就是3/√2
这样解释你看还有没有不明白的，有的话可以追问

Answer 3

关键是这一步｜x1-x2|=3/√2
你懂吗？