Question

如图所示，在半径为9，圆心角为90的扇形OAB的弧AB上有一动点P,PH垂直OA,垂足为H,设G为三角形OPH的重心，当

三角形为等腰三角形时,PH的长为多少?

Answer 1

延长PG交OA于G
∵G是△PHO的重心
∴OC、HD、PE是△PHO的中线切交于G
令OH=x，PH=y,OP=r=9
在Rt△PHO中，由勾股定义得:
HO^2+HP^2=PO^2=81=4x^2+4y^2
又∵△PHG为等腰三角形
∴可能情况有
1.PH=PG2.HG=PG3.HG=PH
当满足1.时 当满足二时 当满足3时
在△PHO中PH=PG=2y ∵C是PH的中点 ∵HG=HP=2y
又∵PG=2GE(重心定义） 又∵PG=HG ∵HD是Rt△HPO的斜边上
∴PE=3y ∴GC⊥PH 的中线
在Rt△PHE中，由勾股定义得： 又∵OA⊥PH ∴2HD=OP=9 所以HD=4.5
PH^2+HE^2=PE^2 ∴GC∥OA 又∵HG=2GD(重心定义）
4y^2+x^2=9y^2 由题意得∵GC与OA相交 ∴HD=3y=4.5所以y=1.5
x^2=5y^2 所以GC与OA重合 所以PH=2y=3 81=4x^2+4y^2 ∴此时PH=0或不存在
∴81=24y^2
y=3根号6/4
所以PH=2y=3根号6/2

Answer 2

OPH为等腰△？
则为等腰直角△
OP＝9
PH＝。。。

Answer 3

解：以O点作为直角坐标系中的原点，以OA所在直线为X轴，建立直角坐标系；
那么圆弧AB的方程为x^2+y^2=81(x≥0,y≥0)
设P点坐标为（x,y）(0≤x≤9),(0≤y≤9) 那么O点坐标为（0,0），
那么O点坐标（x,0），那么G点坐标为（2/3x,1/3y）(重心性质）.
假设线段PG=GH 那么做GE垂直于PH交PH于点E，则E点平分PH,且GE平行X
轴。
由E点平分PH有E点相对于P点坐标（x，1/2y),由GE平行X轴有E点相对于
G点坐标（x,1/3y），由上得1/2y=1/3y,显然不成立，即PG≠GH；
假设线段PH=PG那么有
(x-2/3x)^2+(y-1/3y)^2=(x-x)^2+(y-0)^2
整理得 x=y√5
代入圆弧AB的方程得y=3/2√6≤9 ，x=3/2√30≤9 符合要求
即：假设成立，PH长度为3/2√6≤9；
假设线段HP=HG那么有
(x-2/3x)^2+(1/3y)^2=(x-x)^2+(y-0)^2
整理得 9=y^2 y=3
代入圆弧AB的方程得x=6√2≤9 符合要求
即：假设成立，PH长度为3≤9；
综上所述，PH长度为3/2√6或3。

Answer 4

G有什么用？
如果G与题无关的话，那么就简单了，OPH为等腰三角形，那么只可能是OH＝PH 因为op为半径9 勾股定理HO*HO+PH*PH=0P*0P 得ph为二分之九倍根号二