Question

已知0小于x小于等于1/4,求函数f(x)=（x2-2x+2）/x的最值？

Answer 1

你好：

f(x)=(x^2-2x+2)/x,x∈(0,1/4]
令0<x1<x2≤1/4
f(x1)=(x1²-2x1+2)/x1=x1+2/x1-2 (去括号,因为x≠0）
f(x2)=(x2²-2x2+2)/x2=x2+2/x2-2
则f(x1)-f(x2)=（x1+2/x1-2）-（x2+2/x2-2 ）
=（x1-x2）+2（x2-x1）/x1x2 (这里是通分处理的）
=（x1-x2）-2（x1-x2）/x1x2 (这里是变符号处理）
=（x1-x2）（x1x2-2）/x1x2 （合并同类项，提取（x1-x2））
整理出来的结果就向x1=a，x2=b一样，

再对整理出来的进行判断，看与0比较大小
前面已经设定0<x1<x2≤1/4，所以x1-x2>0,0<x1x2<2
可判定[（x1-x2）（x1x2-2）/x1x2]<0
也就是f(x1)-f(x2)<0
也就是f(x1)<f(x2)
所以在x∈(0,1/4]函数f（x）是单调减函数
所以最小值为f（1/4)=6.25

Answer 2

0<x<=1/4
f(x)=（x2-2x+2）/x
=x+2/x-2
f'(x)=1-2/x^2=(x^2-2)/x^2<0 (0<x<=1/4)
所以f(x)为减函数,
f(0)不存在,即最大值不存在;
最小值=f(1/4)=1/4+8-2=25/4