Question

定义在（-1，1）上的函数f(x)满足：对任意x,y∈(-1,1),都有f(x)+f(y)=f((x+y)/(1+xy))。

当x∈(-1,0)时，求证f(x)在（-1．1）上是单调递减函数
当x∈(-1,0)时，f(x)>0。

Answer 1

应该有个条件是：当x∈(-1,0)时，f(x)>0。

（1） 令x=y=0由f(x)+f(y)=f(x+y／1+xy)可得f(0)=0；
再令y=-x 由f(x)+f(y)=f(x+y／1+xy)可得：f(x)+f(-x)=f(0)=0,因此函数f(x)在（-1．1）上为奇函数；
（2）在（-1．0）上令x=x1，y=x2，且x1＜x2，由（1）知函数f(x)在（-1．1）上为奇函数；
则f(x1)-f(x2)=f(x1)+f(-x2)=f(x1-x2/1-x1x2)，
∵x1-x2＜0，1-x1x2＞0∴x1-x2/1-x1x2＜0由条件可知f(x1-x2/1-x1x2)＞0；
∴f(x1)-f(x2)＞0即f(x1)＞f(x2)，由函数单调性定义可知f(x)在（-1．0）上为单调递减函数；

Answer 2

是这样的吧：当x∈(-1,0)时，有f(x)＞0 ?
令x=y=0；则有 f(0)+f(0)=f(0) 所以：f(0)=0;
令y=-x得到 f(x)+f(-x)=f(0)=0;
即f(-x)=-f(x);
所以f(x)为奇函数；
设x>y;由于f(x)为奇函数，故有f(-y)=-f(y);
则 f(x)-f(y)=f(x)+f(-y)
=f( (x-y)/(1-xy) )
=-f((y-x)/(1-xy) )
由于1>x>y>-1,所以：
(y-x)/(1-xy)<0;
所以：f((y-x)/(1-xy) )>0;
所以： f(x)-f(y)=-f((y-x)/(1-xy) )<0;
即f(x)<f(y);
所以：f(x)在（-1,1)上为减函数。