Question

有关均值不等式的问题~ 求函数y=(x^2+5)/(√x^2+4)的最小值。

求详解~

Answer 1

设 t=√(x^2+4)，则 t^2=x^2+4，且 t>=2

y=(t^2+1)/t=t+1/t=(√t-1/√t)^2+2在t∈[2，+∞)上是增函数，所以
y>=(√2-1/√2)^2+2=5/2
即当x=0时，ymin=5/2

(注：此题不能用均值不等式，因为t+1/t>=2当且仅当t=1时取等号，但t>=2)

Answer 2

设t=√(x^2+4)≥2,,
则y=t+(1/t)是"对勾函数",它在(0,1]上是减函数,在[1,+∞)上增函数,
∴ t=2,即x=0时,y有最小值2+(1/2)=5/2

Answer 3

设a=√x^2+4>=2，则，y=（a^2+1）/a=a+1/a,因为a>=2，所以，这里不能使用均值不等式，
对函数求导得到1-1/a^2>0，则函数单调递增，所以最小值为2+1/2

Answer 4

1到正无穷的开区间