Question

初二数学（平行四边形）

如图，在平行四边形ABCD中,BE⊥AC，DF⊥AC，垂足分别为点E和F，G和H分别是BC、AD的中点，求证：四边形EGFH是平行四边形。

在线等，要写详细过程

Answer 1

分析：通过证明两组三角形全等，得到两组线段相等：EG=FH，EH=FG，利用“两组对边相等的四边形是平行四边形”证明四边形EGFH是平行四边形。

证明：由“平行四边形ABCD”,“G和H分别是BC、AD的中点”两个条件可知 AH=CG,
由“平行四边形ABCD”，可知 ∠DAC=∠BCA,
由“平行四边形对角线互相平分”，可知OA=OC，OB=OD（设对角线交点为O），易证 △DFO ≌ △BEO(AAS) 有OF=OE,所以 AF=CE,AE=CF；
综合以上三条，可证△AHF ≌ △CGE,△AEH ≌ △CFG,
从而有HF=GE,EH=FG,所以四边形EGFH是平行四边形。

Answer 2

我用全等的方法证明，第一条答案也不错，要多看啊！
证明：
∵四边形ABCD是平行四边形
∴AD等于且平行BC，∠CAD＝∠ACB﹙两直线平行，内错角相等﹚
∵BE⊥AC，DF⊥AC
∴∠AFD＝∠CEB＝90°
在△ADF和△CBE中
∠AFD＝∠CEB，∠CAD＝∠ACB，AD＝BC
∴△ADF≌△CBE﹙AAS﹚.AF＝CE
∵ AH=DH
在△AHF和△CGE中
AH=DH,∠HAF＝∠GCE,AF＝CE
∴△AHF≌△CGE﹙SAS﹚,HF＝GE
∵AF＝CE
∴AE＝CF
在△AHE和△CGF中
AH=DH,∠HAF＝∠GCE，AE＝CF
∴△AHE≌△CGF﹙SAS﹚，HE＝GF
∴HF＝GE，HE＝GF。四边形EGFH是平行四边形

Answer 3

∵ABCD是平行四边形，∴AD=BC、AD//BC。∴∠DAC=∠ACB。
∵BE⊥AC，DF⊥AC，∴∠BEC=∠AFD=90°。∴△BEC≌△AFD（AAS）。∴AF=EC。
∴AE=FC。∵AD=BC，G和H分别是BC、AD的中点，∴AH=CG=1/2AD=1/2BC。
又∵∠DAC=∠ACB，AE=FC，∴△AHE≌△FCG（SAS）。∴EH=FG。
∵AF=EC，AH=CG，∠DAC=∠ACB，∴△AHF≌△CGE（SAS）。∴HF=EG。
∴四边形EGFH是平行四边形。

追问

回答是，可以分开回答，这样清楚一点，谢谢你的回答。

Answer 4

楼上貌似不对的
连接HD，做AC、DB的焦点K
因为G和H分别是BC、AD的中点
四边形ABCD是平行四边形
所以HK=GK
因为三角形ADF与三角形CBE相似（角角边）
所以DF平行等于BE
所以四边形DEBF是平行四边形
所以DK=BK
所以四边形EGFH是平行四边形
打字很辛苦
辛苦的孩纸伤不起啊！！！
给分吧

Answer 5

解：连接HG，做DB、AC的交点O
∵AC是平行四边形ABCD的对角线
∴△DAC≌△BCA
∴DF=EB
又∵∠BEC=∠DFA;∠DAF=∠ECB
∴△DFA≌△BEC
∴AF=EC
∵DB是平行四边形ABCD的对角线
∴OA=OC
∴FO=OE
∵H、G为DA、CB的中点
∴HG交与O
∴OH=OG
∴四边形EGFH是平行四边形。