Question

已知a,b为正数且a+b=1,求证(a+1/a)^2+(b+1/b）^2大于等于25/2

Answer 1

这个题方法很多
1柯西不等式
=>(1+1)[(a+1/a)^2+(b+1/b）^2]>=(a+b+1/a+1/b)^2=(1+1+b/a+1+a/b)^2>=(3+2)^2=5
2琴生不等式
构造f(x)=(x+1/x)^2容易知f(x)下凸
所以f(a)+f(b)>=2f[(a+b)/2)]=25/2
推广到n元i从1到n，ai>0,∑ai=1,求证∑(ai+1/ai)^2>=(n^2+1)^2/n

追问

用基本不等式解额。。。麻烦写详细点。。好不好额？？

追答

基本不等式啊。。
a+b=1>=2√ab
ab=25/2
=>(a^2+b^2)+(1/a^2+1/b^2)>=17/2
又2(a^2+b^2)>=(a+b)^2=1
1/a^2+1/b^2>=2/ab>=8
所以(a^2+b^2)+(1/a^2+1/b^2)>=1/2+8=17/2
a=b取等