Question

求助！已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足an+2Sn*S(n-1)=0 (n>=2),a1=0.5.

已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足an+2Sn*S(n-1)=0 (n>=2),a1=0.5.
(1)求证：{1/Sn}是等差数列
（2）求an表达式
(3)若bn=2（1-n）an （n>=2),求证：b2^2+b3^2+......+bn^2<1.

Answer 1

第一问
两边同时除以Sn，整理得S(n-1）=an/2Sn
两边同时除以S(n-1）整理得Sn=an/2S（n-1）③
倒过来可得-1/Sn=2S（n-1）/an①
- 1/S(n-1）=2Sn/an②
①减②得1/Sn- 1/S(n-1）=2
1/S1亦满足上式，所以：{1/Sn}是首项为2公差为2的等差数列

第二问
由第一问得1/Sn=2n，1/S(n-1）=2n-2
an+2Sn*S(n-1)=0 ，an=1/4n（2-2n）[n不等于1,n∈N*]
1/2 [n=1/2]

第三问
bn=1/4n
（bn）^2恒小于1/n
故 ：b2^2+b3^2+......+bn^2<1/n*n=1