Question

如图，点O为正方形ABCD的中心，点E、F分别在DA、CD的延长线上，AE=DF，连BE、AF。

如图，点O为正方形ABCD的中心，点E、F分别在DA、CD的延长线上，AE=DF，连BE、AF。
（1）求证；BE⊥AF；
（2）延长FA交BE于G，连OG，求∠OGF的度数；
（3）在（2）中，若AE=√5，AB=2√5，求OG的长。

Answer 1

（1)过E做直线EN∥AF交DF延长线于N点。

∵EF∥AF，

∴Rt△ADF∽Rt△EDF

∴∠DAF=∠DEN

又∵AE=DF，AB=AD，∠EAB=∠ADF=90°

∴△BAE≌△ADF

∴∠AEB=∠AFD

∵∠BEN=∠BEA+∠DEN

∴∠BEN=∠DAF+∠DFA=90°

∴NE⊥BE，且NE∥AF

∴AF∥BE

（2）过O做OH⊥AB，垂足H，连接OH、OG

根据（1）可知，FG⊥BE，即∠FGB=90°

并且△BOA是直角等腰三角形，OH⊥AB

∴H是AB的中点

∴Rt△AGB中，GH=BH=AH

∴∠GHB=∠HBG

   ∠HGO=∠HOG

   ∠OBH=∠HOB=45°

∵△OHG中，∠OHG+2∠HGO=180°

∵∠OHG=2(∠OBH+∠HBG)

∴∠OBH+∠HBG+∠HGO=90°

∵FG⊥BE，

∴∠HBG+∠HGO+∠OGA=90°

∴∠HBG+∠HGO+∠OGA=∠OBH+∠HBG+∠HGO

∴∠OGA=∠OBH=45°

（3）用三角函数求OG长，假设OG长为X

∵在△AGO中，∠OGA=45°

且cos∠OGA=(AG²+X²-OA²)/2AG×X

∵AE=√5，AB=2√5

∴BE=5，AG=2，AO=√10

∴(4+X²-10)/4X=√2/2             （cos45°=√2/2)

∴X²-2√2X-6=0===》X²-2√2X+2-8=0===》(X-√2)²=8===》X-√2=2√2

∴X=3√2

∴OG长为3√2

Answer 2

解：
（1)在RT△ABE和RT△ADF中
∵AE=DF AB=AD
∴△ABE≌△ADF
∴∠A1=∠B
∠A1=∠A2（对顶）
　∠A2+∠E＝90°
∴BE⊥FG（AF的延长线）即BE⊥AF

（2）连接OE 并在AF上取FH=EG得H点
在△OAE和△ODF中
AE=DF OA=OD ∠OAE=∠ODC（都是90+45）
∴△OAE≌△ODF
∴OE=OF ∠3=∠4
∵OA⊥OD ∴OE⊥OF
∴△EOF是等腰直角三角形
∴OG⊥OH（相当于随AE旋转了90）
∴△OGH也是等腰直角三角形
∴∠OGF=∠OHG=45°

（3）若AE=√5，AB=2√5，求OG的长。
在RT△AEG和RT△ABE中，
EG/AE=AE/BE （BE=√（AE²+AB²）=√（5+20）=5
∴EG=AE²/BE=5/5=1
又GA/AB=EG/AE
∴GA=AB*EG/AE =2√5*（1/ √5）=2
∴GH=GF-HF=（AF+AG）-HF=（BE+AG）-EG=（5+2）-1=6
∴OG=（√2）/2*HG=3√2

Answer 3

(1)∵正方形ABCD　AE＝DF
　∴△AFD≌△BEA
∴∠EBA＝∠DAF
∵∠EAG＝∠DAF（对顶角）　　∠EAG+BAG＝90°　
∴∠EBA+BAG＝90°　
∴BE⊥AF
（2）∠OGF＝45°