Question

如图,已知正方形ABCD,点E是BC上一点,点F是CD延长线上一点,连结EF,若BE=DF，点P是EF的中点。（1）求证：

如图,已知正方形ABCD,点E是BC上一点,点F是CD延长线上一点,连结EF,若BE=DF，点P是EF的中点。（1）求证：DP平分∠ADC（2）若∠AEB=75°，AB=2,求△DFP的面积

Answer 1

（1）连接AE、AF、AP、CP

容易证明△ABE≌△ADF，

∴AE=AF，∠BAE=∠DAF

∴∠EAF=∠BAD=90°

∵点P是EF的中点。

∴AP=EF/2 ，CP=EF/2

∴AP=CP

△APD≌△CPD，

DP平分∠ADC

(2) 作AE的垂直平分线MN，点N在AB边上，连接EN，则AN=EN

∵∠AEB=75°，

∴∠BAE=15°=∠AEN

∴∠BNE=30°

设BE=x，则AN=EN=2x,BN=(√3)x

∵AB=BC=2

∴2x＋(√3)x=2

∴ x=4－2√3

∴EC=2－（4－2√3）=2√3－2

过P作PQ⊥CD于Q

则PQ∥EC

∵点P是EF的中点

∴点Q是CF的中点

∴PQ=EC/2=√3－1

∵FD=BE=x=4－2√3

∴S△DFP=DF×PQ/2

=（4－2√3）（√3－1）/2

=3√3－5

Answer 2

（1）证明：连接PC．
∵ABCD是正方形，
∴∠ABE=∠ADF=90°，AB=AD．
∵BE=DF，
∴△ABE≌△ADF．（SAS）
∴∠BAE=∠DAF，AE=AF．
∴∠EAF=∠BAD=90°．
∵P是EF的中点，
∴PA=1 2 EF，PC=1 2 EF，
∴PA=PC．
又 AD=CD，PD公共，
∴△PAD≌△PCD，（SSS）
∴∠ADP=∠CDP，即DP平分∠ADC；
（2）作PH⊥CF于H点．
∵P是EF的中点，
∴PH=1 2 EC．
设EC=x．
由（1）知△EAF是等腰直角三角形，
∴∠AEF=45°，
∴∠FEC=180°-45°-75°=60°，
∴EF=2x，FC= 3 x，BE=2-x．
在Rt△ABE中，22+（2-x）2=（ 2 x）2
解得 x1=-2-2 3 （舍去），x2=-2+2 3 ．
∴PH=-1+ 3 ，FD= 3 （-2+2 3 ）-2=-2 3 +4．
∴S△DPF=1 2 （-2 3 +4）×(-1+ 3 )=3 3 -5．