Question

关于高中等比数列的题，谢了 ！！

已知方程（X平方—MX+2）（X平方—NX+2）=0的四个根组成一个公比为0.5的等比数列，则M-N的绝对值等于？
A.1 B. 0.5 C.1.5 D.2

Answer 1

设方程x^2－mx＋2＝0的两个实根分别为x1、x2，方程x^2－nx＋2＝0的两个实根分别为x3、x4，由韦达定理得：
x1＋x2＝m，x1x2＝2
x3＋x4＝n，x3x4＝2
从而x1x2x3x4＝4
而这四个根组成一个首项为1/2的等比数列，设公比为q，则这四个根分别是1/2、1/2q、1/2q^2、1/2q^3
∴1/2·1/2q·1/2q^2·1/2q^3＝4
得：q＝±2
从而所求四根分别为：1/2、1、2、4或－1/2、－1、－2、－4
因此m＝1/2＋4＝9/2，n＝1＋2＝3(当然也可能是m＝1＋2＝3，n＝1/2＋4＝9/2)
或m＝－1/2－4＝－9/2，n＝－1－2＝－3(当然也可能是m＝－1－2＝－3，n＝－1/2－4＝－9/2)
无论哪种情况均有：|m－n|＝3/2

追问

首项为1/2??题目是公比为 0.5 啊

追答

0.5=1/2

Answer 2

你好：

首先设那个等比数列的公比是a，所以四个根分别是：1/2、1/2*a、1/2（a的平方）和1/2（a的立方）
所以之前的方程应该能写成（x-1/2）[x-1/2(a的立方)][x-1/2*a][x-(a的平方）]
这样写的顺序就是要你把前两项想乘，后两项想乘
然后的出的式子是[x的平方-（二分之一*a的立方+二分之一）x+四分之一*a的立方][x的平方-（二分之一*a的平方+二分之一a）x+四分之一*a的立方]这样的格式与原式相同
你会发现两个因式里都有项四分之一*a的立方，也就是原式里的2，解得a为2
然后你用（二分之一*a的平方+二分之一a）-（二分之一*a的立方+二分之一）将a代入算出的结果就是二分之三。

Answer 3

C

Answer 4

C。设方程四个根为x1,x2,x3,x4，其中x1,x2为x^2-mx+2=0的根，x3,x4为x^2-nx+2=0的根。不妨设x3>x1>x2>x4（因为四个根组成等比数列，则x1,x2必在中间。否则，与x1x2=2,x3x4=2矛盾）。则x2=0.5x1，代入x1x2=2得x1=2，x2=1；x3=4，x4=0.5。所以m=3，n=4.5，所以结果为1.5。（当x1~x4为负根时同样满足）