Question

1^k+2^k+3^k+...+n^k=?

Answer 1

这个通项公式是一个非常特别的
公式为
1^k+2^k+...+n^k=((n+1+p)^(k+1)-p^(k+1))/(k+1)
我们先要求一个数字p,p满足以下规则
(1+p)^(k+1)-p^(k+1)=0这个里面首先要展开,展开后对于p,p^2 p^3等,我们要当成一个整体对待,比如
k=1的时候
(1+p)^2-p^2=0
1+2p=0 p=-1/2
k=2的时候
(1+p)^3-p^3=0
1+3p+3p^2=0
其中p=-1/2,代入
p^2=1/6
也就是说,p p^2 p^3这些数字之间相对独立
我们来看看k=1的时候我们计算的通项
1+2+..+n=((n+1+p)^2-p^2)/2=((n+1)^2+2(n+1)p)/2
p=-1/2代入
=((n+1)^2-(n+1))/2=n(n+1)/2

我们来看k=2的时候
p=-1/2 p^2=1/6前面已经计算了,不再重复
1^2+2^2+....+n^2=((n+1+p)^3-n^3)/3
=((n+1)^3+3(n+1)^2*p+3(n+1)p^2)3
代入p,p^2
=((n+1)^3-3(n+1)^2/2+3*(n+1)/6)/3
=(n+1)((2(n+1)^2-3(n+1)+1)/6
=(n+1)((2n^2+4n+2-3n-3+1)/6
=(n+1)(2n^2+n)/6=n(n+1)(2n+1)/6

Answer 2

k=0时为n,k!=0时为n(n+1)(2n+1)/6

Answer 3

1²+2²+3²+...+n²=n(n+1)(2n+1)/6
1³+2³+3³+...+n³=n²(n+1)²/4
1²+3²+5²+...+(2n-1)²=n(4n²-1)/4
1³+3³+5³+...+(2n-1)³=n²(2n²-1)

1^k+2^k+3^k+...+n^k=?
这个没有固定的表达式,只能给你提供一些常用的