Question

一道抽象函数题

定义函数f(x)=[x[x]],其中[x]表示不超过x的最大整数，当x属于[0，n)(n属于N*)时，设函数f(x)的值域为A 记集合A中的元素个数为an,则式子an+90/n的最小值为何值？
我是这样算的。f(n)=[n(n-1)]=n^2-n-1,所以f(x)最大值n^2-n-2,最小值0，所以值域有n^2-n-1个值，所以原式=n+89/n-1,n=10最小为，17.9,但答案为13，求指点，谢谢

Answer 1

n=1的时候f(1)=0；只有一个解，此时a1=1；
n=2的时候 x∈[0,2)
其中x∈[0,1) 时候f(x)=0；
其中x∈[1,2) 时候f(x)=1；
于是a2=2；
n=3的时候 x∈[0,3)
其中x∈[0,1) 时候f(x)=0；
其中x∈[1,2) 时候f(x)=1；
其中x∈[2,2+1/2] 时候f(x)=4；
其中x∈[2+1/2,3] 时候f(x)=5；
于是a3=2+2=4
从上面不难看出规律
到2的时候值域多1个，到3的时候值域多2个，那么到n的时候值域就多n-1个
也就是an-a(n-1)=n-1
又a1=1
由此算出an=n(n-1)/2+1
那么原式=n/2+91/n-1/2(最大值在13和14之间取得)
n=13的时候式子=13
n=14的时候式子=13

综合以上得到n=13或者14的时候取得最大值13

Answer 2

见下