已知函数f(x)=ln(2+3x) - 3x^2/2
1、求f(x)在[0,1]上的极值2、若对任意x∈[1/6,1/3],不等式|a-lnx|+ln[f'(x)+3x]>0成立,求实数a的取值范围3、若关于x的方程f(x)...
1、求f(x)在[0,1]上的极值 2、若对任意x∈[1/6,1/3],不等式|a - lnx|+ln[f'(x) + 3x] > 0成立,求实数a的取值范围 3、若关于x的方程f(x)= -2x + b在[0,1]上恰有两个不同的实根,求实数b的取值范围
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3个回答
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已知函数f(x)=ln(2+3x) - 3x^2/2,
(1)、求f(x)在[0, 1]上的极值;
(2)、若对任意x∈[1/6, 1/3],不等式|a - ln x|+ln[f'(x) + 3x] > 0成立,求实数a的取值范围;
(3)、若关于x的方程f(x)= -2x + b在[0, 1]上恰有两个不同的实根,求实数b的取值范围 。
解:
(1)f'(x)=1/(2+3x)-3x,f''(x)=-3/(2+3x)^2-3<0,
令f'(x)=0得:x=(-1±√2)/3,其中(√2-1)/3∈[0, 1],因为f''(x)<0,故f(x)在x=(√2-1)/3处取得极大值f((√2-1)/3)=ln[1/(2+√2-1)]-3/2*[(√2-1)/3]^2=ln(√2-1)-1/2+√2/3。
(2)x∈[1/6, 1/3],
|a - ln x|+ln[f'(x) + 3x]
=|a - ln x|+ln[1/(2+3x)]
=|a - ln x|-ln(2+3x)
|a - ln x|+ln[f'(x) + 3x]> 0(∀x∈[1/6, 1/3])
<=> |a - ln x|-ln(2+3x)>0
<=> |a - ln x|>ln(2+3x)
<=> a - ln x>ln(2+3x) (∀x∈[1/6, 1/3])或 ln x-a >ln(2+3x) (∀x∈[1/6, 1/3])
<=> a >ln x+ln(2+3x) (∀x∈[1/6, 1/3])或 a<ln x- ln(2+3x) (∀x∈[1/6, 1/3])
<=> a >ln (2x+3x^2) (∀x∈[1/6, 1/3])或 a<ln [x/(2+3x)] (∀x∈[1/6, 1/3])
(在区间上[1/6, 1/3],2x+3x^2=3*(x+1/3)^2-1/3,在x=1/3时取最大值1;x/(2+3x)=1/[2/x+3]在x=1/6时取最小值1/15。)
<=> a >ln 1 或 a<ln [1/15]
<=> a >0 或 a<-ln 15,
实数a的取值范围(-∞, -ln 15)∪(0, ∞)。
(3)f(x)= -2x + b
<=> ln(2+3x) - 3x^2/2= -2x + b
<=> ln(2+3x) -3x^2/2 +2x - b=0
设g(x)=ln(2+3x) -3x^2/2 +2x - b,
则g'(x)=1/(2/3+x)-3x+2,
g''(x)=-1/(2/3+x)^2-3<0,
令g'(x)=0得,x=±√7/3,其中x0=√7/3∈[0, 1],g(x)在x0处取得极大值。
因为g''(x)<0,
故在区间[0, √7/3)上,g'(x)>g'(x0)=0,g(x)在该区间上递增;
在区间(√7/3, 1]上,g'(x)<g'(x0)=0,g(x)在该区间上递减;
故g(x)在x0处取得最大值。
欲使f(x)= -2x + b在[0, 1]上恰有两个不同的实根,即g(x)在[0, 1]上有两个零点,需且只需g(x)在两个区间[0, √7/3)、(√7/3, 1]与上各有一个零点(由单调性,g(x)在两个区间上至多各有一个零点,由于x0=√7/3是g(x)的唯一一个最大值点,如果g(x0)=0,则g(x)在[0, 1]上只有1个零点)。
于是可令g(x0)>0, g(0)<0, g(1)<0,
即 ln(2+3*√7/3) -3*(√7/3)^2/2 +2*√7/3 - b>0,
ln 2-b<0;
ln 5-3/2+2-b<0;
解之,b<ln(2+√7)-7/6+2√7/3;
b>ln 2;
b>ln 5+1/2,
所以实数b的取值范围为(ln 5+1/2, ln(2+√7)-7/6+2√7/3)
ln 5+1/2≈0.2770514480;
ln(2+√7)-7/6+2√7/3≈2.133120645;
0.2770514480<2.133120645,
ln 5+1/2<ln(2+√7)-7/6+2√7/3。
(1)、求f(x)在[0, 1]上的极值;
(2)、若对任意x∈[1/6, 1/3],不等式|a - ln x|+ln[f'(x) + 3x] > 0成立,求实数a的取值范围;
(3)、若关于x的方程f(x)= -2x + b在[0, 1]上恰有两个不同的实根,求实数b的取值范围 。
解:
(1)f'(x)=1/(2+3x)-3x,f''(x)=-3/(2+3x)^2-3<0,
令f'(x)=0得:x=(-1±√2)/3,其中(√2-1)/3∈[0, 1],因为f''(x)<0,故f(x)在x=(√2-1)/3处取得极大值f((√2-1)/3)=ln[1/(2+√2-1)]-3/2*[(√2-1)/3]^2=ln(√2-1)-1/2+√2/3。
(2)x∈[1/6, 1/3],
|a - ln x|+ln[f'(x) + 3x]
=|a - ln x|+ln[1/(2+3x)]
=|a - ln x|-ln(2+3x)
|a - ln x|+ln[f'(x) + 3x]> 0(∀x∈[1/6, 1/3])
<=> |a - ln x|-ln(2+3x)>0
<=> |a - ln x|>ln(2+3x)
<=> a - ln x>ln(2+3x) (∀x∈[1/6, 1/3])或 ln x-a >ln(2+3x) (∀x∈[1/6, 1/3])
<=> a >ln x+ln(2+3x) (∀x∈[1/6, 1/3])或 a<ln x- ln(2+3x) (∀x∈[1/6, 1/3])
<=> a >ln (2x+3x^2) (∀x∈[1/6, 1/3])或 a<ln [x/(2+3x)] (∀x∈[1/6, 1/3])
(在区间上[1/6, 1/3],2x+3x^2=3*(x+1/3)^2-1/3,在x=1/3时取最大值1;x/(2+3x)=1/[2/x+3]在x=1/6时取最小值1/15。)
<=> a >ln 1 或 a<ln [1/15]
<=> a >0 或 a<-ln 15,
实数a的取值范围(-∞, -ln 15)∪(0, ∞)。
(3)f(x)= -2x + b
<=> ln(2+3x) - 3x^2/2= -2x + b
<=> ln(2+3x) -3x^2/2 +2x - b=0
设g(x)=ln(2+3x) -3x^2/2 +2x - b,
则g'(x)=1/(2/3+x)-3x+2,
g''(x)=-1/(2/3+x)^2-3<0,
令g'(x)=0得,x=±√7/3,其中x0=√7/3∈[0, 1],g(x)在x0处取得极大值。
因为g''(x)<0,
故在区间[0, √7/3)上,g'(x)>g'(x0)=0,g(x)在该区间上递增;
在区间(√7/3, 1]上,g'(x)<g'(x0)=0,g(x)在该区间上递减;
故g(x)在x0处取得最大值。
欲使f(x)= -2x + b在[0, 1]上恰有两个不同的实根,即g(x)在[0, 1]上有两个零点,需且只需g(x)在两个区间[0, √7/3)、(√7/3, 1]与上各有一个零点(由单调性,g(x)在两个区间上至多各有一个零点,由于x0=√7/3是g(x)的唯一一个最大值点,如果g(x0)=0,则g(x)在[0, 1]上只有1个零点)。
于是可令g(x0)>0, g(0)<0, g(1)<0,
即 ln(2+3*√7/3) -3*(√7/3)^2/2 +2*√7/3 - b>0,
ln 2-b<0;
ln 5-3/2+2-b<0;
解之,b<ln(2+√7)-7/6+2√7/3;
b>ln 2;
b>ln 5+1/2,
所以实数b的取值范围为(ln 5+1/2, ln(2+√7)-7/6+2√7/3)
ln 5+1/2≈0.2770514480;
ln(2+√7)-7/6+2√7/3≈2.133120645;
0.2770514480<2.133120645,
ln 5+1/2<ln(2+√7)-7/6+2√7/3。
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解:(I)fʹ(x)=32+3x-3x=-3(x+1)(3x-1)3x+2,令f'(x)=0,得x=13或x=-1(舍)
当0≤x<13时,f'(x)>0,f(x)单调递增;当13<x≤1时,f'(x)<0,f(x)单调递减,∴f(13)=ln3-16是函数在[0,1]上的最大值
(2)|a-lnx|>-ln32+3x对x∈[16,12]恒成立
若ln32+3x>0即x∈[16,13)恒成立
由|a-lnx|+ln[f'(x)+3x]>0得a>lnx-ln32+3x或a<lnx+ln32+3x
设h(x)=lnx-ln32+3x=ln2x+3x23;g(x)=lnx+ln32+3x=ln32+3x
依题意得a>h(x)或a<g(x)在x∈[13,12]恒成立
∵g′(x)=2x(2+3x)>0,h′(x)=2+6x2x+3x2>0
∴g(x),h(x)都在[13,12]上递增
∴a>h(12)或a<g(13)
即a>ln712或a<ln13
(3)由f(x)=-2x+b知ln(2+3x)-32x2+2x-b=0,
令ϕ(x)=ln(2+3x)-32x2+2x-b,则ϕʹ(x)=32+3x-3x+2=7-9x22+3x
当x∈[0,73]时,ϕ'(x)>0,于是ϕ(x)在[0,73]上递增;当x∈[73,1]时,ϕ'(x)<0,于是ϕ(x)在[73,1]上递减,而ϕ(73)>ϕ(0),ϕ(73)>ϕ(1)∴f(x)=-2x+b即ϕ(x)=0在[0,1]上恰有两个不同实根等价于{ϕ(0)=ln2-b≤0ϕ(73)ln(2+7)-76+273-b>0ϕ(1)=ln5+12-b≤0,解得ln5+12≤b<ln(2+7)-76+273
点评:解决不等式恒成立求参数的范围,通常通过构造新函数,通过新函数导数求出函数的最值,进一步求出参数的范围.
当0≤x<13时,f'(x)>0,f(x)单调递增;当13<x≤1时,f'(x)<0,f(x)单调递减,∴f(13)=ln3-16是函数在[0,1]上的最大值
(2)|a-lnx|>-ln32+3x对x∈[16,12]恒成立
若ln32+3x>0即x∈[16,13)恒成立
由|a-lnx|+ln[f'(x)+3x]>0得a>lnx-ln32+3x或a<lnx+ln32+3x
设h(x)=lnx-ln32+3x=ln2x+3x23;g(x)=lnx+ln32+3x=ln32+3x
依题意得a>h(x)或a<g(x)在x∈[13,12]恒成立
∵g′(x)=2x(2+3x)>0,h′(x)=2+6x2x+3x2>0
∴g(x),h(x)都在[13,12]上递增
∴a>h(12)或a<g(13)
即a>ln712或a<ln13
(3)由f(x)=-2x+b知ln(2+3x)-32x2+2x-b=0,
令ϕ(x)=ln(2+3x)-32x2+2x-b,则ϕʹ(x)=32+3x-3x+2=7-9x22+3x
当x∈[0,73]时,ϕ'(x)>0,于是ϕ(x)在[0,73]上递增;当x∈[73,1]时,ϕ'(x)<0,于是ϕ(x)在[73,1]上递减,而ϕ(73)>ϕ(0),ϕ(73)>ϕ(1)∴f(x)=-2x+b即ϕ(x)=0在[0,1]上恰有两个不同实根等价于{ϕ(0)=ln2-b≤0ϕ(73)ln(2+7)-76+273-b>0ϕ(1)=ln5+12-b≤0,解得ln5+12≤b<ln(2+7)-76+273
点评:解决不等式恒成立求参数的范围,通常通过构造新函数,通过新函数导数求出函数的最值,进一步求出参数的范围.
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