Question

初三数学题一道：几何最值问题

作图：A、B为定点，C、D分别为x轴y轴上的动点，请确定C、D的位置，使四边形ABCD周长最短。

Answer 1

取A关于y轴的对称点M，取B关于x轴的对称点N，连接MN交Y轴于D'，交X轴于C'，则四边形ABC'D'为所求。

如图：

Answer 2

作图：A、B为定点，C、D分别为x轴y轴上的动点，请确定C、D的位置，使四边形ABCD周长最短。

思路：取A关于y轴的对称点A1，取B关于x轴的对称点B1，连接A1B1交Y轴于D，交X轴于C，则四边形ABCD为所求。

作图：
(1)过A作AE⊥Y轴交Y轴于E，延长AE到A1使A1E=AE；
(2)过B作BF⊥X轴交X轴于F，延长BF到B1使B1F=BF；
(3)连接A1B1交Y轴于D，交X轴于C，连接BC，CD，AD；
四边形ABCD为所求。

证明：
∵A，A1关于y轴对称，B，B1关于x轴对称
∴DA=DA1，CB=CB1
即A1B1=AD+DC+CB
在Y轴上任取D1≠D，在X轴上任取C1≠C
连接A1D1,D1C1,C1B1
∵A1D1=AD1，BC1=B1C1
∴A1D1+D1C1+C1B1= AD1+D1C1+C1B
由多边形可知，任意二个端点间距离以这二个端点间的直线段长为最短
∴A1B1< A1D1+D1C1+C1B1= AD1+D1C1+C1B
∴AB+BC+CD+AD<AB+ AD1+D1C1+C1B
∴四边形ABCD周长最短

Answer 3

由题意得，ab为定值 ，那么，只要ad+cd+bc为最小即可，
那么，想到饮水问题，即 取a关于y轴的对称点a2，取b关于x轴的对称点b2，
连接两点与x轴y轴的焦点即为c，d，
证明：
取两个异于刚才的两点，c3，d3，
连接d3a2，d3c3，c3b2，这些即为ad+cd+bc，明显，大于a2b2，即刚刚所给出的cd两点，即可，依据：（两点之间，线段最短）。

Answer 4

作A关于Y轴的对称点，B关于X轴对称点，然后把两个对称点连起来，和x轴y轴的交点就是所求CD两点。。

Answer 5

作点A关于y轴的对称点P
作点B关于x轴的对称点Q
连接PQ，交x轴于点C，交y轴于点D
则C、D即为所求