Question

在双曲线C:x²/a²-y²/b²=1(a＞0,b＞0)中，过焦点垂直于实轴的弦长为（2√3）/3,焦点到

以求得该双曲线的方程为x²/3-y²=1；
（2）若直线L：y=kx+m(m≠0,k≠0)与双曲线C交于A、B两点（A、B不是左右顶点）且以AB为直径的圆过双曲线C的右顶点，求证：直线L过定点，并求出该定点的坐标

Answer 1

右顶点设为M(a，0)  A(x1，y1)    B(x2，y2)

显然AMB是个直角三角形；

向量MA=(x1-a，y1)    向量MB=(x2-a，y2)

点乘为0 于是(x1-a)(x2-a)+y1y2=0；

也就是x1x2-√3(x1+x2)+y1y2+3=0；①

直线方程为y=kx+m

将直线方程带入曲线方程得到

(1-3k²)x²-6kmx-3m²-3=0；

x1x2=-3(m²+1)/(1-3k²)

x1+x2=6km/(1-3k²)

y1y2=(kx1+m)(kx2+m)=k²x1x2+km(x1+x2)+m²=(m²-3k²)/(1-3k²)；

带入方程①得到

-3(m²+1)/(1-3k²)-√3*6km/(1-3k²)+(m²-3k²)/(1-3k²)+3=0；

化简得到

m²+3√3km+6k²=0；

(m+√3k)(m+2√3k)=0

解得，m=-√3k 或者-2√3k

m=-√3k时 直线就是y=k(x-√3)恒过点(√3,0),与右顶点重合，故舍去；

m=-2√3k时 直线就是y=k(x-2√3)恒过点(2√3,0)；

综上，定点坐标就是(2√3,0)